1. Vamos entender o problema: temos um financiamento com 35 prestações mensais, sem entrada. As prestações crescem a razão de 1500 por mês da 1ª até a 18ª e decrescem à mesma razão da 18ª até a 35ª. A taxa de juros mensal é de 4% e a primeira prestação é igual à última, ambas valendo 15500. Queremos calcular o valor presente financiado. 2. Denotemos o valor da primeira prestação por $P_1=15500$. A razão do aumento $r=1500$. 3. Como as prestações crescem até a 18ª, a 18ª prestação será: $$P_{18} = P_1 + 17r = 15500 + 17 \times 1500 = 15500 + 25500 = 41000$$ 4. Da 19ª à 35ª prestação, as prestações decrescem com a mesma razão: Logo, a 35ª é novamente $P_{35} = P_1 = 15500$, confirmando que a sequência é simétrica. 5. Calculamos o valor presente das prestações até a 18ª (parte crescente) usando a fórmula de uma progressão aritmética descontada a uma taxa de juros. Denotamos a taxa mensal $i=0,04$. 6. O valor presente da parte crescente (18 prestações) é: $$VP_1 = \sum_{k=1}^{18} \frac{P_1 + (k-1)r}{(1+i)^k}$$ 7. Para a parte decrescente (17 prestações), a 19ª prestação é 1 estágio abaixo da 18ª: $$P_{19} = P_{18} - r = 41000 - 1500 = 39500$$ E assim por diante até a 35ª prestação. 8. Valor presente da parte decrescente: $$VP_2 = \sum_{k=19}^{35} \frac{P_{18} - (k-18)r}{(1+i)^k} = \sum_{m=1}^{17} \frac{41000 - m \times 1500}{(1.04)^{18 + m}}$$ 9. Calculamos as somas: Primeiro reescrevemos ambas somas para facilitar: - Para a parte crescente: $$VP_1 = P_1 \sum_{k=1}^{18} \frac{1}{(1+i)^k} + r \sum_{k=1}^{18} \frac{k-1}{(1+i)^k}$$ - Para a parte decrescente: $$VP_2 = P_{18} \sum_{m=1}^{17} \frac{1}{(1+i)^{18+m}} - r \sum_{m=1}^{17} \frac{m}{(1+i)^{18+m}}$$ 10. Calculamos: - Utilize a fórmula da soma geométrica para calcular $\sum_{k=1}^N \frac{1}{(1+i)^k}$: $$S_1 = \frac{1 - (1+i)^{-N}}{i}$$ - Para valores dados: $$S_c = \sum_{k=1}^{18} \frac{1}{1.04^k} = \frac{1-(1.04)^{-18}}{0.04}$$ Calculando: $(1.04)^{-18} \approx 0.4723$ $$S_c = \frac{1 - 0.4723}{0.04} = \frac{0.5277}{0.04} = 13.19$$ 11. Para $\sum_{k=1}^{18} \frac{k-1}{(1.04)^k}$, usamos a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica ponderada, ou calculamos com ferramentas numéricas para simplificação. De forma simplificada, calculando numericamente: $$\sum_{k=1}^{18} \frac{k-1}{(1.04)^k} \approx 75.35$$ 12. Para $\sum_{m=1}^{17} \frac{1}{(1.04)^{18+m}} = (1.04)^{-18} \sum_{m=1}^{17} (1.04)^{-m}$: Já temos $(1.04)^{-18} = 0.4723$ E $$\sum_{m=1}^{17} (1.04)^{-m} = \frac{1 - (1.04)^{-17}}{0.04}$$ $(1.04)^{-17} \approx 0.4914$ Então: $$S_d = 0.4723 \times \frac{1 - 0.4914}{0.04} = 0.4723 \times 12.215 =5.768$$ 13. Para $\sum_{m=1}^{17} \frac{m}{(1.04)^{18+m}} = (1.04)^{-18} \sum_{m=1}^{17} m (1.04)^{-m}$, que calculamos numericamente como aproximadamente 32.85 14. Finalmente, valor presente total: $$V = VP_1 + VP_2 = P_1 S_c + r \times 75.35 + P_{18} \times 5.768 - r \times 32.85$$ Substituindo valores: $$V = 15500 \times 13.19 + 1500 \times 75.35 + 41000 \times 5.768 - 1500 \times 32.85$$ Calculando: $$V = 204445 + 113025 + 236488 - 49275 = 504683$$ 15. Então, o valor financiado é aproximadamente $504683$ reais.