1. Enuncie o problema: Um financiamento de caminhão é pago em 35 prestações mensais iguais ao final de cada mês. As prestações aumentam a uma razão de 1500 por mês da primeira até a décima oitava. Depois da décima oitava até a trigésima quinta, as prestações diminuem na mesma razão. A taxa de juros mensal é 4% e o valor da primeira prestação é 15.500, que é igual à última prestação. Goal: Calcular o valor financiado. 2. Definindo as variáveis: - Primeira prestação: $P_1 = 15500$ - Razão das prestações crescentes e decrescentes: $r = 1500$ - Número total de prestações: $n = 35$ - Prestação na posição 18 (ponto máximo): $P_{18} = P_1 + 17r = 15500 + 17 \times 1500 = 41000$ - As prestações crescem até a 18ª e decrescem a partir daí. 3. Verificação da condição última prestação igual primeira: - Prestação 35: $P_{35} = P_{18} - 17r = 41000 - 17 \times 1500 = 15500$ - Está correto. 4. Definição das séries: - Série crescente (meses 1 a 18): $P_k = P_1 + (k-1)r$ - Série decrescente (meses 19 a 35): $P_k = P_{18} - (k-18)r$ 5. Calcular o valor presente das prestações usando taxa de juros mensal $i = 0,04$. 6. Valor presente das prestações crescentes: $$PV_1 = \sum_{k=1}^{18} \frac{P_1 + (k-1)r}{(1+i)^k}$$ 7. Valor presente das prestações decrescentes: $$PV_2 = \sum_{k=19}^{35} \frac{P_{18} - (k-18)r}{(1+i)^k}$$ 8. Calcular as somas para $PV_1$: Separar em duas somas: $$PV_1 = \sum_{k=1}^{18} \frac{15500}{(1.04)^k} + 1500 \sum_{k=1}^{18} \frac{k-1}{(1.04)^k}$$ 9. Calcular as somas para $PV_2$: $$PV_2 = \sum_{k=19}^{35} \frac{41000}{(1.04)^k} - 1500 \sum_{k=19}^{35} \frac{k-18}{(1.04)^k}$$ 10. Usando fórmula da soma geométrica para $$\sum a / (1+i)^k$$ e $$\sum k / (1+i)^k$$, obter os valores numéricos: 11. Calculados numericamente (aproximações): $$\sum_{k=1}^{18} \frac{1}{1.04^k} \approx 13.5903$$ $$\sum_{k=1}^{18} \frac{k-1}{1.04^k} \approx 78.5782$$ $$\sum_{k=19}^{35} \frac{1}{1.04^k} \approx 8.2359$$ $$\sum_{k=19}^{35} \frac{k-18}{1.04^k} \approx 35.6777$$ 12. Calcular: $$PV_1 = 15500 \times 13.5903 + 1500 \times 78.5782 = 210649.65 + 117867.3 = 328516.95$$ $$PV_2 = 41000 \times 8.2359 - 1500 \times 35.6777 = 337751.9 - 53516.6 = 284235.3$$ 13. Valor financiado (valor presente total): $$PV = PV_1 + PV_2 = 328516.95 + 284235.3 = 612752.25$$ **Resposta final:** O valor financiado é aproximadamente **612752,25**.