1. Planteamos el problema: Calcular el trabajo realizado al dar una vuelta completa a una partícula moviéndose a lo largo del círculo de radio 3 en el plano xy, con centro en el origen, bajo el campo de fuerzas $$F(x,y,z) = (2x - y + z)\mathbf{i} + (x + y - z^{2})\mathbf{j} + (3x - 2y + 4z)\mathbf{k}$$. 2. Parametrizamos la trayectoria circular en el plano xy: $$x = 3\cos t, \quad y = 3\sin t, \quad z = 0$$ con $$t$$ de $$0$$ a $$2\pi$$ para una vuelta completa. 3. Calculamos el vector diferencial de desplazamiento: $$d\mathbf{r} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt = (-3\sin t) \mathbf{i} + (3\cos t) \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} dt$$ 4. Evaluamos el campo de fuerzas sobre la curva: $$F(3\cos t, 3\sin t, 0) = \big(2 (3\cos t) - 3\sin t + 0\big) \mathbf{i} + \big(3\cos t + 3\sin t - 0\big) \mathbf{j} + \big(3(3\cos t) - 2(3\sin t) + 0\big) \mathbf{k}$$ Simplificando: $$= (6\cos t - 3\sin t) \mathbf{i} + (3\cos t + 3\sin t) \mathbf{j} + (9\cos t - 6\sin t) \mathbf{k}$$ 5. Calculamos el trabajo como integral de línea: $$W = \int_{0}^{2\pi} F(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt$$ 6. Producto punto: $$F \cdot \mathbf{r}'(t) = (6\cos t - 3\sin t)(-3\sin t) + (3\cos t + 3\sin t)(3\cos t) + (9\cos t - 6\sin t)(0)$$ $$= -18 \cos t \sin t + 9 \sin^{2} t + 9 \cos^{2} t + 9 \sin t \cos t + 0$$ 7. Simplificamos términos: $$-18 \cos t \sin t + 9 \sin t \cos t = -9 \cos t \sin t$$ Además, $$9 \sin^{2} t + 9 \cos^{2} t = 9 (\sin^{2} t + \cos^{2} t) = 9$$ Por lo tanto, $$F \cdot \mathbf{r}'(t) = -9 \cos t \sin t + 9 = 9 - 9 \cos t \sin t$$ 8. La integral del trabajo es: $$W = \int_0^{2\pi} (9 - 9 \cos t \sin t) dt = 9 \int_0^{2\pi} 1 dt - 9 \int_0^{2\pi} \cos t \sin t dt$$ 9. Evaluamos por separado: $$9 \int_0^{2\pi} 1 dt = 9(2\pi) = 18\pi$$ Para $$\int_0^{2\pi} \cos t \sin t dt$$, usamos identidad: $$\cos t \sin t = \frac{1}{2} \sin(2t)$$ Por lo tanto: $$\int_0^{2\pi} \cos t \sin t dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \sin(2t) dt = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2t)\right]_0^{2\pi} = 0$$ 10. Entonces el trabajo total es: $$W = 18\pi - 9 \cdot 0 = 18\pi$$ Respuesta: El trabajo realizado para dar la vuelta en el círculo es $$\boxed{18\pi}$$.