1. **Planteamiento del problema:** Un barco sale del puerto a las 2pm viajando hacia el norte a 30 km/h. A las 4pm cambia su rumbo 20° hacia el este. Se pregunta: ¿a qué distancia está el barco del puerto a las 5pm? 2. **Datos importantes:** - Velocidad constante: 30 km/h - Tiempo de viaje antes del cambio de rumbo: 2 horas (de 2pm a 4pm) - Tiempo de viaje después del cambio de rumbo: 1 hora (de 4pm a 5pm) - Ángulo entre los dos tramos del viaje: 20° 3. **Cálculo de distancias recorridas:** - Distancia norte (primer tramo): $d_1 = 30 \times 2 = 60$ km - Distancia después del cambio (segundo tramo): $d_2 = 30 \times 1 = 30$ km 4. **Uso de la ley de cosenos:** La ley de cosenos se usa para encontrar la distancia directa $D$ desde el puerto al barco después del cambio de rumbo: $$D^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 \cos(180^\circ - 20^\circ)$$ Recordemos que el ángulo entre los dos tramos es $180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$ porque el barco gira 20° hacia el este desde la dirección norte. 5. **Sustitución y cálculo:** $$D^2 = 60^2 + 30^2 - 2 \times 60 \times 30 \times \cos(160^\circ)$$ Calculamos cada término: - $60^2 = 3600$ - $30^2 = 900$ - $\cos(160^\circ) = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos(20^\circ) \approx -0.9397$ Entonces: $$D^2 = 3600 + 900 - 2 \times 60 \times 30 \times (-0.9397)$$ $$D^2 = 4500 + 3600 \times 0.9397 = 4500 + 3374.92 = 7874.92$$ 6. **Raíz cuadrada para obtener la distancia:** $$D = \sqrt{7874.92} \approx 88.7$$ km 7. **Respuesta final:** La distancia del barco al puerto a las 5pm es aproximadamente **89 km**.