1. Planteamiento del problema: Calcularemos el área superficial y el volumen de un cuerpo compuesto formado por un cilindro con un cono encima. 2. Fórmulas básicas: - Área superficial del cilindro: $$A_{cilindro} = 2\pi r h + 2\pi r^2$$ donde $r$ es el radio y $h$ la altura. - Volumen del cilindro: $$V_{cilindro} = \pi r^2 h$$ - Área superficial del cono: $$A_{cono} = \pi r l + \pi r^2$$ donde $l$ es la generatriz del cono. - Volumen del cono: $$V_{cono} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_c$$ donde $h_c$ es la altura del cono. 3. Datos del problema: Sea un cilindro de radio $r=3$ y altura $h=5$, con un cono encima de mismo radio $r=3$ y altura $h_c=4$. 4. Cálculo de la generatriz del cono usando el teorema de Pitágoras: $$l = \sqrt{r^2 + h_c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 5. Área superficial total del cuerpo compuesto: - Área lateral del cilindro: $$2\pi r h = 2\pi \times 3 \times 5 = 30\pi$$ - Área base inferior del cilindro: $$\pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$$ - Área lateral del cono: $$\pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$$ - Área base del cono (que coincide con la base superior del cilindro) no se cuenta dos veces. - Área total: $$A = 30\pi + 9\pi + 15\pi = 54\pi$$ 6. Volumen total del cuerpo compuesto: - Volumen del cilindro: $$V_{cilindro} = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi$$ - Volumen del cono: $$V_{cono} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_c = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$$ - Volumen total: $$V = 45\pi + 12\pi = 57\pi$$ 7. Respuesta final: - Área superficial total: $$54\pi \approx 169.65$$ unidades cuadradas. - Volumen total: $$57\pi \approx 179.07$$ unidades cúbicas. Este ejercicio muestra cómo combinar áreas y volúmenes de cuerpos compuestos usando fórmulas básicas y principios geométricos.