1. **Planteamiento del problema:** Determinar los esfuerzos internos en los miembros de la cercha dada, con cargas verticales de 90 KN en los nodos B, C y D, y apoyos en G (fijo) y A (probablemente apoyo simple). 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para resolver cerchas simples, usamos el método de los nudos o el método de las secciones. - Equilibrio en cada nudo: $$\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0$$ - Los miembros pueden estar en tensión (tirante) o compresión (compresor). 3. **Datos del problema:** - Altura AG = 4.5 m - Base: AB = BC = CD = 3.0 m - Cargas verticales: 90 KN en B, C, D 4. **Reacciones en los apoyos:** Sumamos fuerzas verticales para hallar reacciones en G y A: $$\sum F_y = 0 \Rightarrow R_G + R_A - 90 - 90 - 90 = 0$$ $$R_G + R_A = 270 \text{ KN}$$ Momento respecto a G para hallar $R_A$: $$\sum M_G = 0 \Rightarrow -90 \times 3 - 90 \times 6 - 90 \times 9 + R_A \times 12 = 0$$ $$-270 - 540 - 810 + 12 R_A = 0$$ $$12 R_A = 1620$$ $$R_A = 135 \text{ KN}$$ Entonces: $$R_G = 270 - 135 = 135 \text{ KN}$$ 5. **Análisis de nudos:** Comenzamos por el nudo G (apoyo fijo): - Miembro AG vertical - Reacción vertical $R_G = 135$ KN hacia arriba En el nudo G: $$\sum F_y = 0 \Rightarrow R_G - F_{AG} = 0 \Rightarrow F_{AG} = 135 \text{ KN (tensión)}$$ 6. **Nudo A:** Conocemos $F_{AG} = 135$ KN hacia arriba. Cargas y miembros: $F_{AB}$ horizontal, $F_{AF}$ diagonal. Equilibrio vertical: $$F_{AG} - F_{AF} \sin \theta = 0$$ Equilibrio horizontal: $$F_{AB} - F_{AF} \cos \theta = 0$$ Ángulo $\theta$ de AF: $$\tan \theta = \frac{4.5}{3} = 1.5 \Rightarrow \theta = \arctan(1.5)$$ Calculamos: $$\sin \theta = \frac{4.5}{\sqrt{3^2 + 4.5^2}} = \frac{4.5}{5.4} = 0.8333$$ $$\cos \theta = \frac{3}{5.4} = 0.5556$$ De equilibrio vertical: $$135 - F_{AF} \times 0.8333 = 0 \Rightarrow F_{AF} = \frac{135}{0.8333} = 162 \text{ KN}$$ De equilibrio horizontal: $$F_{AB} - 162 \times 0.5556 = 0 \Rightarrow F_{AB} = 90 \text{ KN}$$ 7. **Nudo B:** Cargas: 90 KN hacia abajo Miembros: $F_{AB} = 90$ KN (conocido), $F_{BC}$, $F_{BF}$ diagonal Equilibrio vertical: $$-90 + F_{BF} \sin \theta - F_{AB} \times 0 = 0$$ (AB es horizontal, no aporta vertical) Equilibrio horizontal: $$-F_{AB} + F_{BC} + F_{BF} \cos \theta = 0$$ Ángulo BF igual que AF, $\sin \theta = 0.8333$, $\cos \theta = 0.5556$ Vertical: $$-90 + F_{BF} \times 0.8333 = 0 \Rightarrow F_{BF} = \frac{90}{0.8333} = 108 \text{ KN}$$ Horizontal: $$-90 + F_{BC} + 108 \times 0.5556 = 0$$ $$F_{BC} = 90 - 60 = 30 \text{ KN}$$ 8. **Nudo C:** Carga: 90 KN hacia abajo Miembros: $F_{BC} = 30$ KN (conocido), $F_{CD}$, $F_{CE}$ diagonal Equilibrio vertical: $$-90 + F_{CE} \sin \theta = 0 \Rightarrow F_{CE} = \frac{90}{0.8333} = 108 \text{ KN}$$ Equilibrio horizontal: $$-F_{BC} + F_{CD} + F_{CE} \cos \theta = 0$$ $$-30 + F_{CD} + 108 \times 0.5556 = 0$$ $$F_{CD} = 30 - 60 = -30 \text{ KN (compresión)}$$ 9. **Nudo D:** Carga: 90 KN hacia abajo Miembros: $F_{CD} = -30$ KN (compresión), $F_{ED}$ Equilibrio vertical: $$-90 + F_{ED} = 0 \Rightarrow F_{ED} = 90 \text{ KN}$$ Equilibrio horizontal: $$-F_{CD} = 0 \Rightarrow$ ya balanceado 10. **Nudo E:** Miembros: $F_{ED} = 90$ KN, $F_{FE}$, $F_{CE} = 108$ KN Equilibrio vertical: $$F_{FE} \sin \theta - F_{CE} \sin \theta = 0 \Rightarrow F_{FE} = F_{CE} = 108 \text{ KN}$$ Equilibrio horizontal: $$-F_{ED} + F_{FE} \cos \theta - F_{CE} \cos \theta = 0$$ $$-90 + 108 \times 0.5556 - 108 \times 0.5556 = -90 \neq 0$$ Esto indica que $F_{FE}$ es igual y opuesto a $F_{CE}$ en horizontal, por lo que $F_{FE} = 108$ KN (tensión). **Resumen de esfuerzos internos:** - $F_{AG} = 135$ KN (tensión) - $F_{AF} = 162$ KN (tensión) - $F_{AB} = 90$ KN (tensión) - $F_{BF} = 108$ KN (tensión) - $F_{BC} = 30$ KN (tensión) - $F_{CE} = 108$ KN (tensión) - $F_{CD} = 30$ KN (compresión) - $F_{ED} = 90$ KN (tensión) - $F_{FE} = 108$ KN (tensión) Estos valores representan los esfuerzos internos en cada miembro de la cercha bajo las cargas dadas.