1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una tabla con la distribución de edades de madres en intervalos, con frecuencias absolutas (ni), frecuencias acumuladas (Ni), frecuencias relativas (hi) y frecuencias relativas acumuladas (Hi). Se pide calcular medidas de posición central, dispersión y forma. 2. **Medidas de posición central:** - Media aritmética aproximada para datos agrupados: $$\bar{x} = \frac{\sum n_i M_{xi}}{\sum n_i}$$ - Mediana: valor que divide la distribución en dos partes iguales, se encuentra usando la frecuencia acumulada. - Moda: valor o intervalo con mayor frecuencia. 3. **Cálculo de la media:** $$\bar{x} = \frac{8\times18.5 + 6\times23.5 + 9\times28.5 + 2\times33.5 + 5\times39}{30}$$ $$= \frac{148 + 141 + 256.5 + 67 + 195}{30} = \frac{807.5}{30} = 26.92$$ 4. **Cálculo de la mediana:** - Total de datos $N=30$. - La mediana está en la posición $\frac{N}{2} = 15$. - Buscamos el intervalo donde la frecuencia acumulada $N_i$ supera 15. - $N_2=14$ y $N_3=23$, entonces la mediana está en el intervalo 26-31. - Fórmula de la mediana para datos agrupados: $$Me = L_i + \left(\frac{\frac{N}{2} - N_{i-1}}{n_i}\right) \times c$$ Donde: $L_i=26$ (límite inferior del intervalo mediano), $N_{i-1}=14$ (frecuencia acumulada antes del intervalo), $n_i=9$ (frecuencia del intervalo), $c=5$ (amplitud del intervalo). $$Me = 26 + \left(\frac{15 - 14}{9}\right) \times 5 = 26 + \frac{1}{9} \times 5 = 26 + 0.56 = 26.56$$ 5. **Cálculo de la moda:** - El intervalo modal es el que tiene mayor frecuencia $n_i$, que es 9 en el intervalo 26-31. - Fórmula de la moda para datos agrupados: $$Mo = L_i + \left(\frac{d_1}{d_1 + d_2}\right) \times c$$ Donde: $d_1 = n_i - n_{i-1} = 9 - 6 = 3$, $d_2 = n_i - n_{i+1} = 9 - 2 = 7$, $L_i=26$, $c=5$. $$Mo = 26 + \left(\frac{3}{3+7}\right) \times 5 = 26 + 0.3 \times 5 = 26 + 1.5 = 27.5$$ 6. **Medidas de dispersión:** - Varianza para datos agrupados: $$s^2 = \frac{\sum n_i (M_{xi} - \bar{x})^2}{N}$$ - Calculamos cada término: | Intervalo | $M_{xi}$ | $n_i$ | $M_{xi} - \bar{x}$ | $(M_{xi} - \bar{x})^2$ | $n_i (M_{xi} - \bar{x})^2$ | |-----------|----------|-------|--------------------|-----------------------|---------------------------| | 16-21 | 18.5 | 8 | 18.5 - 26.92 = -8.42 | 70.88 | 8 * 70.88 = 567.04 | | 21-26 | 23.5 | 6 | -3.42 | 11.70 | 70.20 | | 26-31 | 28.5 | 9 | 1.58 | 2.50 | 22.50 | | 31-36 | 33.5 | 2 | 6.58 | 43.28 | 86.56 | | 36-42 | 39 | 5 | 12.08 | 145.93 | 729.65 | Sumamos: $567.04 + 70.20 + 22.50 + 86.56 + 729.65 = 1475.95$ $$s^2 = \frac{1475.95}{30} = 49.20$$ - Desviación estándar: $$s = \sqrt{49.20} = 7.01$$ 7. **Medidas de forma:** - Coeficiente de simetría de Pearson: $$Sk = \frac{\bar{x} - Mo}{s} = \frac{26.92 - 27.5}{7.01} = \frac{-0.58}{7.01} = -0.08$$ - Interpretación: valor cercano a 0 indica distribución aproximadamente simétrica. **Respuesta final:** - Media: 26.92 - Mediana: 26.56 - Moda: 27.5 - Varianza: 49.20 - Desviación estándar: 7.01 - Coeficiente de simetría: -0.08 (ligeramente sesgada a la izquierda)