1. **Planteamiento del problema:** Calcular las medidas de posición central, dispersión, coeficiente de variación, varianza, desviación estándar y medidas de forma (asimetría y curtosis) para la distribución de edades de la madre dada en la tabla. 2. **Datos relevantes:** - Intervalos de edad (Li - Ls) - Puntos medios (Mixi) - Frecuencias absolutas (ni) - Total de datos $N=30$ 3. **Medidas de posición central:** - Media aritmética $$\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N} = \frac{8\times18.5 + 6\times23.5 + 9\times28.5 + 2\times33.5 + 5\times39}{30}$$ - Cálculo: $$\bar{x} = \frac{148 + 141 + 256.5 + 67 + 195}{30} = \frac{807.5}{30} = 26.92$$ 4. **Medidas de dispersión:** - Varianza $$s^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$$ - Calcular cada término: - $(18.5 - 26.92)^2 = 71.42$ - $(23.5 - 26.92)^2 = 11.70$ - $(28.5 - 26.92)^2 = 2.50$ - $(33.5 - 26.92)^2 = 43.30$ - $(39 - 26.92)^2 = 146.30$ - Multiplicar por frecuencias y sumar: $$S = 8\times71.42 + 6\times11.70 + 9\times2.50 + 2\times43.30 + 5\times146.30 = 571.36 + 70.2 + 22.5 + 86.6 + 731.5 = 1482.16$$ - Varianza: $$s^2 = \frac{1482.16}{30} = 49.41$$ - Desviación estándar: $$s = \sqrt{49.41} = 7.03$$ 5. **Coeficiente de variación:** $$CV = \frac{s}{\bar{x}} = \frac{7.03}{26.92} = 0.261 = 26.1\%$$ 6. **Medidas de forma:** - Asimetría (coeficiente de Fisher): $$\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N} \sum n_i (x_i - \bar{x})^3}{s^3}$$ - Curtosis: $$\gamma_2 = \frac{\frac{1}{N} \sum n_i (x_i - \bar{x})^4}{s^4} - 3$$ 7. **Cálculo de momentos centrales para asimetría y curtosis:** - Calcular $(x_i - \bar{x})^3$ y $(x_i - \bar{x})^4$ para cada $x_i$: - $(18.5 - 26.92)^3 = -603.5$ - $(23.5 - 26.92)^3 = -40.0$ - $(28.5 - 26.92)^3 = 3.95$ - $(33.5 - 26.92)^3 = 284.5$ - $(39 - 26.92)^3 = 1760.3$ - Multiplicar por frecuencias y sumar: $$M_3 = \frac{8(-603.5) + 6(-40.0) + 9(3.95) + 2(284.5) + 5(1760.3)}{30} = \frac{-4828 - 240 + 35.55 + 569 + 8801.5}{30} = \frac{4337.05}{30} = 144.57$$ - Asimetría: $$\gamma_1 = \frac{144.57}{7.03^3} = \frac{144.57}{347.5} = 0.416$$ - Para curtosis: - $(18.5 - 26.92)^4 = 5099.3$ - $(23.5 - 26.92)^4 = 145.3$ - $(28.5 - 26.92)^4 = 6.25$ - $(33.5 - 26.92)^4 = 1867.3$ - $(39 - 26.92)^4 = 21194.3$ - Multiplicar por frecuencias y sumar: $$M_4 = \frac{8(5099.3) + 6(145.3) + 9(6.25) + 2(1867.3) + 5(21194.3)}{30} = \frac{40794.4 + 871.8 + 56.25 + 3734.6 + 105971.5}{30} = \frac{151428.55}{30} = 5047.62$$ - Curtosis: $$\gamma_2 = \frac{5047.62}{7.03^4} - 3 = \frac{5047.62}{2441.3} - 3 = 2.07 - 3 = -0.93$$ 8. **Interpretación:** - La asimetría positiva $0.416$ indica una ligera inclinación hacia la derecha. - La curtosis negativa $-0.93$ indica una distribución más plana que la normal. 9. **Gráfica de la medida de forma (asimetría):** - La función para graficar la asimetría es la distribución de frecuencias relativa $h_i$ vs. puntos medios $x_i$.