1. El problema nos pide encontrar un intervalo de confianza del 95% para la variabilidad (varianza) de una máquina que empaca cajas de jabón. 2. Datos dados: - Tamaño de la muestra $n=8$ - Media muestral $\bar{x}=3.1$ libras (no se usa para varianza) - Varianza muestral $s^2=0.018$ - Nivel de confianza $95\%$ (por lo tanto, $\alpha=0.05$) 3. Para construir un intervalo de confianza para la varianza poblacional $\sigma^2$ cuando la muestra es pequeña y la población es normal, usamos la distribución $\chi^2$ con $n-1$ grados de libertad. 4. La fórmula del intervalo de confianza para la varianza es: $$\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}\right)$$ 5. Calculamos los grados de libertad: $$df = n-1 = 8-1 = 7$$ 6. Buscamos los valores críticos de $\chi^2$ para $\alpha/2=0.025$ y $1-\alpha/2=0.975$ con 7 grados de libertad: - $\chi^2_{0.025,7} = 16.013$ - $\chi^2_{0.975,7} = 2.167$ 7. Sustituimos en la fórmula: $$Límite\ inferior = \frac{7 \times 0.018}{16.013} = \frac{0.126}{16.013} \approx 0.00787$$ $$Límite\ superior = \frac{7 \times 0.018}{2.167} = \frac{0.126}{2.167} \approx 0.05817$$ 8. Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional es aproximadamente: $$\boxed{(0.0079, 0.0582)}$$ 9. Esto significa que con un 95% de confianza, la varianza verdadera de la máquina está entre 0.0079 y 0.0582 onzas al cuadrado.