1. Enunciado do problema: Queremos mostrar que a função $$f(x) = \begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$ não é contínua no ponto $x=0$ usando sequências, considerando a métrica usual em $\mathbb{R}$. 2. Definição de continuidade via sequências: Uma função $f$ é contínua em $x=0$ se, para toda sequência $(x_n)$ que converge para 0, a sequência $(f(x_n))$ converge para $f(0)$. 3. Aplicando a definição: Sabemos que $f(0) = 0$. Para provar que $f$ não é contínua em 0, basta encontrar duas sequências $(x_n)$ e $(y_n)$ convergindo para 0 tais que as imagens $f(x_n)$ e $f(y_n)$ tenham limites diferentes. 4. Escolha das sequências: - Sequência 1: $x_n = \frac{1}{\pi n}$, então $$f(x_n) = \sin(\pi n) = 0,$$ pois $\sin(k\pi) = 0$ para todo inteiro $k$. - Sequência 2: $y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$, então $$f(y_n) = \sin\left(\frac{1}{y_n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 1,$$ pois $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 1$ para todo inteiro $n$. 5. Conclusão: Ambas as sequências $x_n$ e $y_n$ convergem para 0, mas $$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0 \neq 1 = \lim_{n \to \infty} f(y_n).$$ Portanto, $f$ não é contínua em $x=0$. Este resultado mostra que a função oscila infinitamente perto de zero, impedindo a continuidade naquele ponto.