1. Énoncé du problème : Nous avons le système différentiel suivant : $$x'_1 = 2t x_2, \quad x'_2 = 2t x_2$$ 2. Écriture en notation matricielle : On pose $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ et $X' = \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix}$. Le système s'écrit alors : $$X' = \begin{pmatrix} 0 & 2t \\ 0 & 2t \end{pmatrix} X$$ 3. Résolution du système : Le système est $$\begin{cases} x'_1 = 2t x_2 \\ x'_2 = 2t x_2 \end{cases}$$ De la deuxième équation, on a : $$x'_2 = 2t x_2$$ C'est une équation différentielle séparée : $$\frac{dx_2}{dt} = 2t x_2$$ 4. Résolution de $x_2$ : Séparons les variables : $$\frac{1}{x_2} dx_2 = 2t dt$$ Intégrons des deux côtés : $$\int \frac{1}{x_2} dx_2 = \int 2t dt$$ $$\ln|x_2| = t^2 + C$$ Donc : $$x_2 = K e^{t^2}$$ avec $K = e^C$ une constante. 5. Résolution de $x_1$ : On a $$x'_1 = 2t x_2 = 2t K e^{t^2}$$ Intégrons pour trouver $x_1$ : $$x_1 = \int 2t K e^{t^2} dt + C_1$$ Posons $u = t^2$, alors $du = 2t dt$, donc $$x_1 = K \int e^u du + C_1 = K e^{t^2} + C_1$$ 6. Solution générale en notation matricielle : $$X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} K e^{t^2} + C_1 \\ K e^{t^2} \end{pmatrix}$$ On peut aussi écrire $$X(t) = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + K e^{t^2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Ceci est la solution générale du système.