### Exercice 7 1. **Énoncé:** Résoudre le système $$\begin{cases} y'(t) = \sqrt{|y(t)|} \\ y(0) = 0 \end{cases}$$ 2. **Construction d'une solution non nulle:** - Considérons la fonction $y(t) = \frac{t^2}{4}$ pour $t \geq 0$. - Calculons la dérivée: $$y'(t) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2}$$ - Calculons $\sqrt{|y(t)|}$: $$\sqrt{\left| \frac{t^2}{4} \right|} = \frac{|t|}{2}$$ - Pour $t \geq 0$, $\frac{t}{2} = \frac{|t|}{2}$ donc: $$y'(t) = \sqrt{|y(t)|}$$ - La condition initiale est satisfaite car: $$y(0) = 0$$ - Par symétrie, $y(t) = 0$ pour $t < 0$ donne une solution continue, ou on peut définir: $$y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0 \\ \frac{t^2}{4} & t \geq 0 \end{cases}$$ - Cette fonction est ainsi une solution non nulle du problème. 3. **Application du théorème de Lipschitz:** - La fonction associée est $f(y) = \sqrt{|y|}$. - Vérifions si $f$ est Lipschitzienne autour de $y=0$: - La dérivée de $f$ (en valeur absolue) est: $$f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{|y|}}$$ qui tend vers l'infini quand $y \to 0$. - Cette croissance infinie près de 0 signifie que $f$ n'est **pas Lipschitzienne** autour de $y=0$. - Par conséquent, le théorème de Lipschitz ne s'applique **pas** ici, ce qui explique l'existence possible de plusieurs solutions. ### Exercice 8 1. **Énoncé:** Un gâteau sort du four à 100°C à 17h00. - Après 10 minutes, température = 80°C. - Après 20 minutes, température = 65°C. Objectif: déterminer la température ambiante de la cuisine. 2. **Modèle mathématique:** Loi de refroidissement de Newton: $$\frac{dy}{dt} = -k(y - T_a)$$ - $y(t)$ = température du gâteau au temps $t$ (minutes après 17h00). - $T_a$ = température ambiante (constante à déterminer). - $k > 0$ = constante d'échange thermique. 3. **Solution générale:** - Cette équation s'intègre en: $$y(t) = T_a + (y_0 - T_a) e^{-kt}$$ avec condition initiale $y_0 = 100$°C. 4. **Utilisation des données:** - Pour $t=10$: $$80 = T_a + (100 - T_a) e^{-10k}$$ - Pour $t=20$: $$65 = T_a + (100 - T_a) e^{-20k}$$ 5. **Posons:** $$A = 100 - T_a$$ $$E = e^{-10k}$$ Alors: - $80 = T_a + A E$ - $65 = T_a + A E^2$ 6. **Soustraction:** $$(80 - T_a)^2 = (A E)^2 = A^2 E^{2} = (100 - T_a)^2 E^{2}$$ De manière plus simple, utilisons les deux équations: $$80 - T_a = A E$$ $$65 - T_a = A E^2$$ Divisons la deuxième par la première: $$\frac{65 - T_a}{80 - T_a} = E$$ 7. **Écriture de $E$ et de $A$:** - $E = \frac{65 - T_a}{80 - T_a}$ - $A = \frac{80 - T_a}{E} = \frac{80 - T_a}{\frac{65 - T_a}{80 - T_a}} = \frac{(80 - T_a)^2}{65 - T_a}$ Mais $A = 100 - T_a$, donc: $$100 - T_a = \frac{(80 - T_a)^2}{65 - T_a}$$ 8. **Résolution de l'équation pour $T_a$:** $$ (100 - T_a)(65 - T_a) = (80 - T_a)^2 $$ Développons: $$ (100)(65) - 100 T_a - 65 T_a + T_a^2 = 6400 - 160 T_a + T_a^2 $$ Simplifions: $$ 6500 - 165 T_a + T_a^2 = 6400 - 160 T_a + T_a^2 $$ Soustrayons $T_a^2$ de chaque côté: $$ 6500 - 165 T_a = 6400 - 160 T_a $$ Cela donne: $$ 6500 - 6400 = 165 T_a - 160 T_a $$ $$ 100 = 5 T_a $$ $$ T_a = 20$$ 9. **Conclusion:** La température ambiante de la cuisine est de $20^\circ$C. 10. **Calcul de $k$ pour information:** $$E = e^{-10k} = \frac{65 - 20}{80 - 20} = \frac{45}{60} = 0.75$$ $$-10k = \ln(0.75)$$ $$k = -\frac{\ln(0.75)}{10} \approx 0.0287$$ **Réponses finales:** - Exercice 7: la solution $y(t) = \frac{t^2}{4}$ pour $t \geq 0$ est une solution non nulle. - Le théorème de Lipschitz ne s'applique pas ici. - Exercice 8: la température ambiante de la cuisine est **20°C**.