1. **Énoncé du problème :** Trouver une solution $u(x,y)$ à l'équation de Laplace $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$ dans le carré $0 < x < 1$, $0 < y < 1$ avec conditions de Neumann homogènes sur trois côtés et non homogène sur le quatrième. 2. **Méthode de séparation des variables :** On pose $u(x,y) = F(x)G(y)$. 3. En substituant dans l'équation de Laplace, on obtient $$F''(x)G(y) + F(x)G''(y) = 0 \implies \frac{F''(x)}{F(x)} = -\frac{G''(y)}{G(y)} = -\lambda,$$ où $\lambda$ est une constante réelle de séparation. 4. Cela donne deux équations différentielles ordinaires : - Pour $G(y)$ : $$G''(y) - \lambda G(y) = 0,$$ - Pour $F(x)$ : $$F''(x) + \lambda F(x) = 0.$$ 5. **Conditions aux limites homogènes (3) :** - $\frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = 0 \implies F(x)G'(0) = 0$ donc $G'(0) = 0$. - $\frac{\partial u}{\partial y}(x,1) = 0 \implies F(x)G'(1) = 0$ donc $G'(1) = 0$. - $\frac{\partial u}{\partial x}(0,y) = 0 \implies F'(0)G(y) = 0$ donc $F'(0) = 0$. 6. **Problème de valeurs propres pour $G(y)$ :** $$\begin{cases} G''(y) - \lambda G(y) = 0, \\ G'(0) = 0, \\ G'(1) = 0. \end{cases}$$ 7. **Solutions pour $G(y)$ :** - Si $\lambda = 0$, $G(y) = A y + B$ avec $G'(0) = A = 0$ et $G'(1) = A = 0$ donc $G(y) = B$ constante. - Si $\lambda = \mu^2 > 0$, solutions $G(y) = C \cosh(\mu y) + D \sinh(\mu y)$, conditions $G'(0) = 0 \Rightarrow D \mu = 0 \Rightarrow D=0$, et $G'(1) = C \mu \sinh(\mu) = 0$ donc $C=0$ ou $\sinh(\mu) = 0$ (impossible sauf $\mu=0$). - Si $\lambda = -\omega^2 < 0$, solutions $G(y) = E \cos(\omega y) + F \sin(\omega y)$, conditions $G'(0) = -E \omega \sin(0) + F \omega \cos(0) = F \omega = 0 \Rightarrow F=0$, et $G'(1) = -E \omega \sin(\omega) = 0$ donc $\sin(\omega) = 0 \Rightarrow \omega = n \pi$, $n=0,1,2,...$. 8. Donc les valeurs propres sont $\lambda_n = -(n \pi)^2$ avec fonctions propres $G_n(y) = \cos(n \pi y)$. 9. **Équation pour $F(x)$ :** $$F''(x) + \lambda_n F(x) = 0,$$ avec $F'(0) = 0$. 10. Pour $\lambda_n = -(n \pi)^2$, on a $$F''(x) - (n \pi)^2 F(x) = 0,$$ solution générale $$F_n(x) = A_n \cosh(n \pi x) + B_n \sinh(n \pi x).$$ Condition $F'(0) = 0$ implique $$F_n'(0) = A_n n \pi \sinh(0) + B_n n \pi \cosh(0) = B_n n \pi = 0 \Rightarrow B_n = 0.$$ Donc $$F_n(x) = A_n \cosh(n \pi x).$$ 11. **Solution générale homogène :** $$u(x,y) = \sum_{n=0}^\infty A_n \cosh(n \pi x) \cos(n \pi y).$$ 12. **Condition sur $h(y)$ pour la condition non homogène (4) :** $$\frac{\partial u}{\partial x}(1,y) = h(y) = \sum_{n=0}^\infty A_n n \pi \sinh(n \pi) \cos(n \pi y).$$ Pour que cette série converge et représente $h(y)$, $h(y)$ doit être développable en série de cosinus de Fourier avec coefficients $$h_n = A_n n \pi \sinh(n \pi).$$ 13. **Unicité de la solution :** La solution est unique à une constante additive près car l'équation de Laplace avec conditions de Neumann homogènes admet une solution unique modulo une constante. En effet, si $u_1$ et $u_2$ sont deux solutions, leur différence $w = u_1 - u_2$ satisfait $$\Delta w = 0$$ avec $$\frac{\partial w}{\partial n} = 0$$ sur tout le bord, donc $w$ est constante. **Réponse finale :** - $G(y)$ satisfait $$G''(y) - \lambda G(y) = 0, \quad G'(0) = 0, \quad G'(1) = 0.$$ - $F(x)$ satisfait $$F''(x) + \lambda F(x) = 0, \quad F'(0) = 0.$$ - La solution générale homogène est $$u(x,y) = \sum_{n=0}^\infty A_n \cosh(n \pi x) \cos(n \pi y).$$ - $h(y)$ doit être développable en série de cosinus pour que la condition non homogène soit satisfaite. - La solution est unique à une constante additive près.