1. **Énoncé du problème :** Soient $E = \{\emptyset, 1\}$ et $P(E)$ son ensemble des parties. On définit : - $A = E \cup P(E)$ - $B = P(E) \cup \{P(E)\}$ - $A \times B$ leur produit cartésien. On doit déterminer en extension (liste complète des éléments) : (i) $A$ ; (ii) $B$ ; (iii) $C = \{(a,b) \in A \times B \mid a \in b\}$ ; (iv) $D = \{(a,b) \in A \times B \mid a \subset b \wedge a \neq b\}$. 2. **Calcul de $P(E)$ :** L'ensemble $E = \{\emptyset, 1\}$ a pour parties : $$P(E) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}$$ 3. **Calcul de $A = E \cup P(E)$ :** $$A = \{\emptyset, 1\} \cup \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\} = \{\emptyset, 1, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}$$ 4. **Calcul de $B = P(E) \cup \{P(E)\}$ :** $$B = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\} \cup \{\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}\}$$ $$B = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}, P(E)\}$$ 5. **Définition du produit cartésien $A \times B$ :** C'est l'ensemble des couples $(a,b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$. 6. **Calcul de $C = \{(a,b) \in A \times B \mid a \in b\}$ :** On cherche tous les couples où $a$ est un élément de $b$. - Pour $b = \emptyset$, aucun $a$ n'est dans $b$. - Pour $b = \{\emptyset\}$, $a$ doit être $\emptyset$. - Pour $b = \{1\}$, $a$ doit être $1$. - Pour $b = \{\emptyset, 1\}$, $a$ peut être $\emptyset$ ou $1$. - Pour $b = P(E)$, $a$ doit être un élément de $P(E)$, donc $a \in \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}$. Ainsi : $$C = \{(\emptyset, \{\emptyset\}), (1, \{1\}), (\emptyset, \{\emptyset, 1\}), (1, \{\emptyset, 1\}), (\emptyset, P(E)), (\{\emptyset\}, P(E)), (\{1\}, P(E)), (\{\emptyset, 1\}, P(E))\}$$ 7. **Calcul de $D = \{(a,b) \in A \times B \mid a \subset b \wedge a \neq b\}$ :** On cherche les couples où $a$ est un sous-ensemble strict de $b$. - Vérifions chaque $a \in A$ et $b \in B$. - Rappel : $a \subset b$ signifie que tous les éléments de $a$ sont dans $b$ et $a \neq b$. Par exemple : - $a = \emptyset$ est sous-ensemble strict de tout $b \neq \emptyset$. - $a = 1$ (élément simple) n'est pas un ensemble, donc $a \subset b$ est faux sauf si on considère $1$ comme singleton, ce qui n'est pas le cas ici. - $a = \{\emptyset\}$ est sous-ensemble de $b$ si $b$ contient $\emptyset$. - $a = \{1\}$ est sous-ensemble de $b$ si $b$ contient $1$. - $a = \{\emptyset, 1\}$ est sous-ensemble de $b$ si $b$ contient $\emptyset$ et $1$. En appliquant cela : - Pour $b = \{\emptyset\}$, seuls $a = \emptyset$ est sous-ensemble strict. - Pour $b = \{1\}$, seuls $a = \emptyset$ est sous-ensemble strict. - Pour $b = \{\emptyset, 1\}$, $a = \emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{1\}$ sont sous-ensembles stricts. - Pour $b = P(E)$, $a$ peut être $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{1\}$, $\{\emptyset, 1\}$, mais pas $P(E)$ lui-même. Donc : $$D = \{(\emptyset, \{\emptyset\}), (\emptyset, \{1\}), (\emptyset, \{\emptyset, 1\}), (\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}), (\{1\}, \{\emptyset, 1\}), (\emptyset, P(E)), (\{\emptyset\}, P(E)), (\{1\}, P(E)), (\{\emptyset, 1\}, P(E))\}$$ **Réponses finales :** - $A = \{\emptyset, 1, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}$ - $B = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\}, P(E)\}$ - $C = \{(\emptyset, \{\emptyset\}), (1, \{1\}), (\emptyset, \{\emptyset, 1\}), (1, \{\emptyset, 1\}), (\emptyset, P(E)), (\{\emptyset\}, P(E)), (\{1\}, P(E)), (\{\emptyset, 1\}, P(E))\}$ - $D = \{(\emptyset, \{\emptyset\}), (\emptyset, \{1\}), (\emptyset, \{\emptyset, 1\}), (\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}), (\{1\}, \{\emptyset, 1\}), (\emptyset, P(E)), (\{\emptyset\}, P(E)), (\{1\}, P(E)), (\{\emptyset, 1\}, P(E))\}$