1. Montrons que $A \cup B = A \cap B \iff A = B$. 1. Supposons $A = B$. Alors $A \cup B = A \cup A = A$ et $A \cap B = A \cap A = A$. Donc $A \cup B = A \cap B$. 2. Réciproquement, supposons $A \cup B = A \cap B$. 3. Comme $A \cap B \subseteq A \cup B$ toujours, l'égalité implique $A \cup B = A \cap B$ est un ensemble unique. 4. Or, $A \subseteq A \cup B$ et $B \subseteq A \cup B$, donc $A \subseteq A \cap B$ et $B \subseteq A \cap B$. 5. Mais $A \cap B \subseteq A$ et $A \cap B \subseteq B$, donc $A = A \cap B = B$. 2. Montrons que $A \cup B = E \implies \overline{A} \subseteq B$. 1. Par définition, $\overline{A} = E \setminus A$. 2. Si $A \cup B = E$, alors tout élément $x \in E$ est dans $A$ ou dans $B$. 3. Donc, si $x \in \overline{A}$, alors $x \notin A$, donc $x$ doit être dans $B$. 4. Ainsi, $\overline{A} \subseteq B$. Exercice 5. 1. Trouvons l'intervalle pour $|x| > 1$ et $|x| \leq 2$. 1. $|x| > 1$ signifie $x < -1$ ou $x > 1$. 2. $|x| \leq 2$ signifie $-2 \leq x \leq 2$. 3. L'intersection est donc $(-2, -1) \cup (1, 2]$. 2. Trouvons l'intervalle pour $|x| \leq 2 \implies |x - 1| < 2$. 1. $|x| \leq 2$ signifie $-2 \leq x \leq 2$. 2. $|x - 1| < 2$ signifie $-2 < x - 1 < 2$, donc $-1 < x < 3$. 3. Pour que l'implication soit vraie, tout $x$ dans $[-2, 2]$ doit vérifier $-1 < x < 3$. 4. Comme $[-2, 2] \subset (-1, 3)$ est faux (car $-2 < -1$), l'implication n'est pas vraie pour tout $x$ dans $[-2, 2]$. 5. Trouvons l'intervalle de $x$ pour que l'implication soit vraie. 6. L'implication $P \implies Q$ est fausse seulement si $P$ est vrai et $Q$ est faux. 7. $Q$ est faux si $|x - 1| \geq 2$, soit $x \leq -1$ ou $x \geq 3$. 8. Donc, pour que l'implication soit vraie, il faut que $x$ ne soit pas dans $[-2, 2]$ et $x \leq -1$ ou $x \geq 3$ en même temps. 9. L'ensemble des $x$ pour lesquels l'implication est vraie est donc $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Réponses finales : 1. $A \cup B = A \cap B \iff A = B$. 2. $A \cup B = E \implies \overline{A} \subseteq B$. 3. $|x| > 1$ et $|x| \leq 2$ sur $(-2, -1) \cup (1, 2]$. 4. $|x| \leq 2 \implies |x - 1| < 2$ est vrai pour $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.