1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux ensembles définis par $$E = \{2, \frac{\pi}{2}, 4, k\frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\}$$ $$F = \{\frac{\pi}{6}, k\frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\}$$ Nous voulons répondre aux questions suivantes : 1- Montrer si $9 \in E \cap F$. 2- Vérifier si $-\frac{\pi}{6} \in E$ et si $-\frac{\pi}{6} \in F$. 3- Déterminer si $F \subseteq E$ en justifiant. 2. **Question 1 : Vérification de $9 \in E \cap F$** - Pour que $9 \in E \cap F$, 9 doit appartenir à la fois à $E$ et à $F$. - Dans $E$, les éléments sont : $ 2, \frac{\pi}{2}, 4$, et tous les nombres de la forme $k\frac{\pi}{3}$ avec $k \in \mathbb{Z}$. - Dans $F$, les éléments sont : $\frac{\pi}{6}$ et tous les nombres de la forme $k\frac{\pi}{3}$ avec $k \in \mathbb{Z}$. - Vérifions si $9$ peut s'écrire comme $k\frac{\pi}{3}$ pour un entier $k$ : $$9 = k \frac{\pi}{3} \implies k = \frac{9 \times 3}{\pi} = \frac{27}{\pi}$$ - $\frac{27}{\pi}$ n'est pas un entier, donc $9 \notin \{k\frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\}$. - Les seuls autres éléments dans $E$ sont $2, \frac{\pi}{2}, 4$; $9$ n'est ni $2$, ni $\frac{\pi}{2}$, ni $4$. - Donc, $9 \notin E$ et par conséquent, $9 \notin E \cap F$. 3. **Question 2 : Vérification de $-\frac{\pi}{6} \in E$ et $-\frac{\pi}{6} \in F$** - Vérifions $-\frac{\pi}{6} \in E$. - $E$ contient $2, \frac{\pi}{2}, 4$ et les multiples entiers de $\frac{\pi}{3}$. - $-\frac{\pi}{6}$ n'est pas ni $2$, ni $\frac{\pi}{2}$, ni $4$. - Vérifions si $-\frac{\pi}{6}$ est de la forme $k\frac{\pi}{3}$ pour un entier $k$ : $$-\frac{\pi}{6} = k\frac{\pi}{3} \implies k = -\frac{\pi/6}{\pi/3} = -\frac{1}{2}$$ - Or $k$ doit être un entier, $-\frac{1}{2}$ n'est pas un entier, donc $-\frac{\pi}{6} \notin E$. - Maintenant, regardons $-\frac{\pi}{6} \in F$. - $F$ contient $\frac{\pi}{6}$ et tous les multiples entiers de $\frac{\pi}{3}$. - $-\frac{\pi}{6}$ est explicitement mentionné ? Non. - Vérifions la forme $k\frac{\pi}{3}$ : $$-\frac{\pi}{6} = k \frac{\pi}{3} \implies k = -\frac{1}{2}$$ - Pas un entier, donc $-\frac{\pi}{6} \notin \{k\frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\}$. - Donc en fait, ce n'est explicitement pas membre de $F$ non plus. - Résultat : $-\frac{\pi}{6} \notin E$ et $-\frac{\pi}{6} \notin F$. 4. **Question 3 : $F \subseteq E$ ?** - Pour que $F$ soit inclus dans $E$, tout élément de $F$ doit appartenir à $E$. - $F = \{\frac{\pi}{6}, k \frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \}$. - Dans $E$, les multiples de $\frac{\pi}{3}$ (avec $k$ entier) sont tous présents. - Cependant, $\frac{\pi}{6} \in F$ mais $\frac{\pi}{6}$ n'est pas dans $E$ car ce n'est pas dans $\{2, \frac{\pi}{2}, 4\}$ ni dans $\{k\frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\}$ (car $\frac{\pi}{6}$ est un demi-multiple de $\frac{\pi}{3}$). - Donc $F$ n'est pas entièrement contenu dans $E$. - Conclusion : $$F \not\subseteq E$$ **Réponses finales :** 1. $9 \notin E \cap F$. 2. $-\frac{\pi}{6} \notin E$ et $-\frac{\pi}{6} \notin F$. 3. $F$ n'est pas un sous-ensemble de $E$.