1. **Zadatak:** Imamo funkciju tražnje $x = 9 - \frac{p}{4}$, prosječne troškove $c_T = \frac{x}{12} + 5$ i fiksne troškove $T_f = Z$ (pretpostavimo $Z=1$ kao broj indeksa). Treba naći interval rentabilnosti, maksimalnu dobit, maksimalnu tražnju i maksimalni prihod, te grafički prikazati odnos prihoda i troškova, uključujući prirast troškova sa 5 na 8. 2. **Formula i pravila:** - Tražnja: $x = 9 - \frac{p}{4} \Rightarrow p = 36 - 4x$ - Prihod: $R = p \cdot x = (36 - 4x)x = 36x - 4x^2$ - Ukupni troškovi: $C = T_f + c_T \cdot x = Z + \left(\frac{x}{12} + 5\right) x = Z + \frac{x^2}{12} + 5x$ - Dobit: $\pi = R - C = (36x - 4x^2) - \left(Z + \frac{x^2}{12} + 5x\right) = 36x - 4x^2 - Z - \frac{x^2}{12} - 5x$ 3. **Interval rentabilnosti:** Dobit je nenegativna: $\pi \geq 0$ $$36x - 4x^2 - Z - \frac{x^2}{12} - 5x \geq 0$$ $$31x - \left(4 + \frac{1}{12}\right) x^2 - Z \geq 0$$ $$31x - \frac{49}{12} x^2 - Z \geq 0$$ Za $Z=1$: $$31x - \frac{49}{12} x^2 - 1 \geq 0$$ Rešavamo kvadratnu nejednačinu: $$-\frac{49}{12} x^2 + 31x - 1 \geq 0$$ Diskriminanta: $$\Delta = 31^2 - 4 \cdot \left(-\frac{49}{12}\right) \cdot (-1) = 961 - \frac{196}{12} = 961 - 16.33 = 944.67$$ Koreni: $$x = \frac{-31 \pm \sqrt{944.67}}{2 \cdot -\frac{49}{12}} = \frac{-31 \pm 30.74}{-\frac{98}{12}}$$ Računamo: - $x_1 = \frac{-31 + 30.74}{-\frac{98}{12}} = \frac{-0.26}{-8.17} = 0.032$ - $x_2 = \frac{-31 - 30.74}{-8.17} = \frac{-61.74}{-8.17} = 7.56$ Interval rentabilnosti je $[0.032, 7.56]$. 4. **Maksimalna dobit:** Derivacija dobiti: $$\frac{d\pi}{dx} = 31 - 2 \cdot \frac{49}{12} x = 31 - \frac{98}{12} x = 31 - 8.17 x$$ Postavimo na nulu za maksimum: $$31 - 8.17 x = 0 \Rightarrow x = \frac{31}{8.17} = 3.79$$ Maksimalna dobit: $$\pi(3.79) = 31 \cdot 3.79 - \frac{49}{12} (3.79)^2 - 1 = 117.49 - 58.82 - 1 = 57.67$$ 5. **Maksimalna tražnja:** Maksimalna tražnja je gornja granica intervala rentabilnosti, tj. $7.56$. 6. **Maksimalni prihod:** Prihod je parabola sa maksimumom u: $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{2 \cdot (-4)} = 4.5$$ Maksimalni prihod: $$R(4.5) = 36 \cdot 4.5 - 4 \cdot (4.5)^2 = 162 - 81 = 81$$ 7. **Prikaz prirasta troškova:** Promena u $c_T$ sa 5 na 8 znači nova funkcija troškova: $$C_{novi} = Z + \frac{x^2}{12} + 8x$$ --- **Zaključak:** - Interval rentabilnosti: $[0.032, 7.56]$ - Maksimalna dobit: $57.67$ pri $x=3.79$ - Maksimalna tražnja: $7.56$ - Maksimalni prihod: $81$ pri $x=4.5$ Grafički prikaz: - Funkcija tražnje: $p = 36 - 4x$ - Prihod: $R = 36x - 4x^2$ - Troškovi: $C = 1 + \frac{x^2}{12} + 5x$ i $C_{novi} = 1 + \frac{x^2}{12} + 8x$