1. Masalah ini meminta kita mencari keuntungan maksimum dari fungsi permintaan dan fungsi biaya total yang diberikan. 2. Fungsi permintaan adalah $P = 1000 - 5Q$, dan fungsi biaya total adalah $C = 2000 + 1375Q - 50Q^2 + Q^3$. 3. Keuntungan ($\pi$) adalah pendapatan total dikurangi biaya total: $$\pi = TR - C$$ 4. Pendapatan total ($TR$) adalah harga dikali kuantitas: $$TR = P \times Q = (1000 - 5Q)Q = 1000Q - 5Q^2$$ 5. Jadi, fungsi keuntungan menjadi: $$\pi = 1000Q - 5Q^2 - (2000 + 1375Q - 50Q^2 + Q^3)$$ 6. Sederhanakan fungsi keuntungan: $$\pi = 1000Q - 5Q^2 - 2000 - 1375Q + 50Q^2 - Q^3 = -2000 - 375Q + 45Q^2 - Q^3$$ 7. Untuk mencari keuntungan maksimum, kita cari turunan pertama dari $\pi$ terhadap $Q$ dan setarakan dengan nol: $$\frac{d\pi}{dQ} = -375 + 90Q - 3Q^2 = 0$$ 8. Persamaan kuadratnya adalah: $$-3Q^2 + 90Q - 375 = 0$$ 9. Bagi semua suku dengan -3 agar lebih sederhana: $$Q^2 - 30Q + 125 = 0$$ 10. Gunakan rumus kuadrat: $$Q = \frac{30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \times 1 \times 125}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 500}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{400}}{2}$$ 11. Hitung akar kuadrat: $$\sqrt{400} = 20$$ 12. Jadi, dua solusi untuk $Q$ adalah: $$Q_1 = \frac{30 + 20}{2} = 25$$ dan $$Q_2 = \frac{30 - 20}{2} = 5$$ 13. Untuk menentukan mana yang memberikan keuntungan maksimum, kita cek turunan kedua: $$\frac{d^2\pi}{dQ^2} = 90 - 6Q$$ 14. Evaluasi turunan kedua pada $Q=5$: $$90 - 6 \times 5 = 90 - 30 = 60 > 0$$ (minimum) 15. Evaluasi turunan kedua pada $Q=25$: $$90 - 6 \times 25 = 90 - 150 = -60 < 0$$ (maksimum) 16. Jadi, keuntungan maksimum terjadi pada $Q=25$. 17. Hitung keuntungan maksimum dengan substitusi $Q=25$ ke fungsi keuntungan: $$\pi = -2000 - 375(25) + 45(25)^2 - (25)^3$$ 18. Hitung setiap suku: $$-375 \times 25 = -9375$$, $$45 \times 625 = 28125$$, $$25^3 = 15625$$ 19. Jadi: $$\pi = -2000 - 9375 + 28125 - 15625 = ( -2000 - 9375 ) + (28125 - 15625) = -11375 + 12500 = 1125$$ 20. Keuntungan maksimum adalah $1125$. **Jawaban akhir:** Keuntungan maksimum yang diperoleh adalah $1125.000$ (dibulatkan tiga angka di belakang koma).