1. **Planteamiento del problema:** Se nos dan las siguientes ecuaciones: - Demanda: $x = 10000 - 1000p$ - Costo: $c(x) = 5000 + 2x$ Queremos calcular para $x = 4000$ y $x = 6000$: - Costo marginal (CM), que es $c'(x)$ - Ingreso marginal (IM), que se derivará del ingreso total $I(x)$ - Utilidad marginal (UM), que es la derivada de la utilidad $U(x) = I(x) - c(x)$ 2. **Encontrar expresión de precio $p$ en función de $x$:** De $x = 10000 - 1000p$, despejamos $p$: $$p = \frac{10000 - x}{1000} = 10 - 0.001x$$ 3. **Calcular ingreso total $I(x)$:** Ingreso total es precio por cantidad vendida: $$I(x) = p \cdot x = \left(10 - 0.001x\right)x = 10x - 0.001x^2$$ 4. **Obtener ingreso marginal (IM):** Ingreso marginal es la derivada de $I(x)$: $$I'(x) = 10 - 0.002x$$ 5. **Obtener costo marginal (CM):** Costo marginal es la derivada del costo: $$c'(x) = \frac{d}{dx} (5000 + 2x) = 2$$ 6. **Encontrar utilidad total $U(x)$ y utilidad marginal (UM):** $$U(x) = I(x) - c(x) = (10x - 0.001x^2) - (5000 + 2x) = 8x - 0.001x^2 - 5000$$ Derivada de utilidad: $$U'(x) = 8 - 0.002x$$ 7. **Evaluar para $x=4000$ unidades:** - $CM = 2$ - $IM = 10 - 0.002\times4000 = 10 - 8 = 2$ - $UM = 8 - 0.002\times4000 = 8 - 8 = 0$ Interpretación: A 4000 unidades, el costo marginal es 2, igual que el ingreso marginal, por lo que no hay ganancia adicional ni pérdida (utilidad marginal 0). Es un punto de equilibrio marginal. 8. **Evaluar para $x=6000$ unidades:** - $CM = 2$ - $IM = 10 - 0.002\times6000 = 10 - 12 = -2$ - $UM = 8 - 0.002\times6000 = 8 - 12 = -4$ Interpretación: A 6000 unidades, el costo marginal sigue en 2, pero el ingreso marginal es negativo, lo que significa que vender una unidad más reduce el ingreso total. La utilidad marginal negativa indica que producir más de 6000 unidades disminuye la utilidad. **Conclusión:** Para maximizar la utilidad, la empresa debería producir hasta el punto donde la utilidad marginal sea cero, es decir, cerca de 4000 unidades.