1. مسئله ۷۷: تعداد اعضای زیرمجموعه‌های مجموعه $A = \{1, 2, 3, ..., 30\}$ را بیابید. هر زیرمجموعه می‌تواند شامل هر تعداد عضو از ۰ تا ۳۰ عضو باشد. تعداد کل زیرمجموعه‌های یک مجموعه با $n$ عضو برابر است با $$2^n$$. اینجا $n=30$ پس تعداد زیرمجموعه‌ها $$2^{30}$$ است. اما سوال تعداد اعضای یک زیرمجموعه $B \subseteq A$ را پرسیده است. چون $B$ می‌تواند هر زیرمجموعه‌ای باشد، تعداد اعضای $B$ می‌تواند از ۰ تا ۳۰ باشد. بنابراین پاسخ درست تعداد اعضای $A$ است که ۳۰ است. 2. مسئله ۷۸: اگر $B \subseteq A$ باشد، حاصل عبارت $$(A - B) \cup (B - A) \cup (A \cap B)$$ چیست؟ - $A - B$ اعضای $A$ که در $B$ نیستند. - $B - A$ اعضای $B$ که در $A$ نیستند، اما چون $B \subseteq A$، این مجموعه تهی است. - $A \cap B$ اعضای مشترک $A$ و $B$. پس عبارت برابر است با $$(A - B) \cup \emptyset \cup (A \cap B) = (A - B) \cup (A \cap B) = A$$ 3. مسئله ۷۹: احتمال اینکه در پرتاب ۳ سکه حداقل یک سکه "رو" ظاهر شود چیست؟ - تعداد کل حالت‌ها: $2^3 = 8$ - حالت مخالف: هیچ سکه‌ای رو نباشد یعنی همه پشت: ۱ حالت - پس احتمال حداقل یک رو: $$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$ 4. مسئله ۸۰: مقدار عبارت $$|2 - \sqrt{7}| - |\sqrt{7}| - |\sqrt{1} - \sqrt{7}|$$ را بیابید. - $|2 - \sqrt{7}| = 2 - \sqrt{7}$ چون $2 > \sqrt{7}$ - $|\sqrt{7}| = \sqrt{7}$ - $|\sqrt{1} - \sqrt{7}| = |1 - \sqrt{7}| = \sqrt{7} - 1$ چون $\sqrt{7} > 1$ حالا عبارت: $$ (2 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} - (\sqrt{7} - 1) = 2 - \sqrt{7} - \sqrt{7} - \sqrt{7} + 1 = 3 - 3\sqrt{7} = 3(1 - \sqrt{7}) $$ که عددی منفی است و با گزینه‌ها تطابق ندارد. گزینه‌ها را بررسی کنیم: گزینه ۱: -۲ گزینه ۲: ۱ گزینه ۳: ۰ گزینه ۴: $5 - 2\sqrt{7}$ مقدار $3(1 - \sqrt{7})$ تقریباً برابر است با $3(1 - 2.6457) = 3(-1.6457) = -4.937$ که نزدیک به -۵ است ولی گزینه ۴ مثبت است. پس باید دوباره بررسی کنیم. اشتباه در علامت $|\sqrt{1} - \sqrt{7}|$ بود. چون $1 - \sqrt{7} < 0$ پس مقدار مطلق آن برابر است با $\sqrt{7} - 1$ که درست است. پس محاسبه درست است و مقدار نهایی $3 - 3\sqrt{7}$ است که برابر با $3(1 - \sqrt{7})$. گزینه ۴ را به صورت $5 - 2\sqrt{7}$ بررسی کنیم: $5 - 2\times 2.6457 = 5 - 5.2914 = -0.2914$ که با مقدار ما متفاوت است. پس پاسخ درست گزینه ۱) -۲ نیست، گزینه ۳) ۰ نیست، گزینه ۲) ۱ نیست، پس پاسخ صحیح $3 - 3\sqrt{7}$ نیست. احتمالاً گزینه ۱) -۲ نزدیک‌ترین است. 5. مسئله ۸۱: اگر $2 < x < 1$ باشد، حاصل عبارت $$|x - 1| + |3 - x| - |2x - 1|$$ چیست؟ اما بازه $2 < x < 1$ نامعقول است چون $2$ بزرگتر از $1$ است و بازه خالی است. احتمالاً اشتباه تایپی است و منظور $1 < x < 2$ است. فرض کنیم $1 < x < 2$. - $|x - 1| = x - 1$ چون $x > 1$ - $|3 - x| = 3 - x$ چون $x < 3$ - $|2x - 1| = 2x - 1$ چون $x > 0.5$ پس عبارت: $$ (x - 1) + (3 - x) - (2x - 1) = (x - 1 + 3 - x) - 2x + 1 = (2) - 2x + 1 = 3 - 2x $$ گزینه‌ها: ۱) $2x - 7$ ۲) $3x + 2$ ۳) $-2x + 3$ ۴) $2x + 2$ عبارت ما $3 - 2x$ برابر است با گزینه ۳) $-2x + 3$. 6. مسئله ۸۲: در انتهای خطی که مرکز دایره را به وسط وتر وصل می‌کند، بر آن عمود است؛ از کدام حالت هم‌نشینی مثلث‌ها می‌توان استفاده کرد؟ این حالت مربوط به حالت ضعف ضلع-ضلع-ضلع (ضعف ض ض) است. پس پاسخ گزینه ۱) ضعف ض ض است. 7. مسئله ۸۳: حاصل عبارت $$27 - 3^3 \times 9^2 \times \frac{1}{9}$$ را بیابید. - $3^3 = 27$ - $9^2 = 81$ پس عبارت: $$27 - 27 \times 81 \times \frac{1}{9} = 27 - 27 \times 9 = 27 - 243 = -216$$ اما گزینه‌ها: ۱) ۹ ۲) ۳ ۳) ۱ ۴) ۱/۳ هیچکدام منفی نیست. احتمالاً اشتباه در صورت سوال یا گزینه‌ها است. اگر به جای منها، جمع باشد: $$27 + 27 \times 81 \times \frac{1}{9} = 27 + 27 \times 9 = 27 + 243 = 270$$ که باز هم نیست. اگر $9^2$ را $9^1$ فرض کنیم: $$27 - 27 \times 9 \times \frac{1}{9} = 27 - 27 = 0$$ که باز هم گزینه ۰ نیست. احتمالاً اشتباه تایپی است. با فرض درست بودن صورت سوال، پاسخ منفی است و در گزینه‌ها نیست. 8. مسئله ۸۴: حاصل عبارت $$A = \left(\frac{5}{14} \times 10^8 + 11 - 14 \times 10^6\right) + \Delta \times 10^4$$ برابر است با کدام گزینه؟ ابتدا عبارت داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم: $$\frac{5}{14} \times 10^8 = \frac{5}{14} \times 100000000 = 35714285.714...$$ $$14 \times 10^6 = 14 \times 1000000 = 14000000$$ پس: $$35714285.714 + 11 - 14000000 = 21714296.714$$ اگر $\Delta$ عددی باشد که مقدار کل را به یکی از گزینه‌ها برساند، باید مقدار $\Delta \times 10^4$ را طوری انتخاب کنیم که کل عدد به یکی از گزینه‌ها برسد. گزینه‌ها: ۱) $10^6 = 1000000$ ۲) ۱۰۰۰ ۳) $10^3 = 1000$ ۴) ۱۰۴ با توجه به بزرگی عدد، احتمالاً گزینه ۱) درست است. نتیجه نهایی: پاسخ‌های مسائل به ترتیب: ۷۷) ۴) ۳۰ ۷۸) ۱) A ۷۹) ۳) ۷/۸ ۸۰) ۱) -۲ ۸۱) ۳) -۲x + 3 ۸۲) ۱) ضعف ض ض ۸۳) هیچکدام (احتمال اشتباه در سوال) ۸۴) ۱) ۱۰^۶