1. Задатак 10: Дати су елементи и табеларни приказ релације ρ. Табела показује да су у релацији парови (1,1), (2,1), (b,b) и (a,a). 2. Релација ρ се може записати као скуп парова: $$\rho = \{(1,1), (2,1), (b,b), (a,a)\}$$ 3. Задатак 11: Дати су скупови $$A = \{A, K, \text{Л}\}, \quad B = \{\text{И}, \text{М}, \text{У}\}$$ и релација ρ \subseteq A \times B где је $(a,b) \in \rho$ ако је $a$ или $b$ сагласник. 4. Сагласници у српском језику су: К, Л, М 5. Проверавамо све парове из $A \times B$: - $(A, И)$: $A$ није сагласник, $И$ није сагласник → не у релацији - $(A, М)$: $М$ је сагласник → у релацији - $(A, У)$: ни $A$ ни $У$ нису сагласници → не у релацији - $(K, И)$: $K$ је сагласник → у релацији - $(K, М)$: оба сагласници → у релацији - $(K, У)$: $K$ сагласник → у релацији - $(Л, И)$: $Л$ сагласник → у релацији - $(Л, М)$: оба сагласници → у релацији - $(Л, У)$: $Л$ сагласник → у релацији 6. Табеларни приказ релације ρ (редови A, K, Л; колоне И, М, У): | | И | М | У | |---|---|---|---| | A | | X | | | K | X | X | X | | Л | X | X | X | 7. Граф релације ρ је скуп усмерених ивица из елемената A у B који испуњавају услов сагласника. 8. Задатак 12: Скуп $A = \{2,3,4\}$ и релација ρ \subseteq A \times A са правилом $(a,b) \in \rho$ ако је $a$ паран број. 9. Проверимо рефлексивност: за сваки $a \in A$ мора важити $(a,a) \in \rho$. - $2$ је паран, па $(2,2) \in \rho$ - $3$ није паран, па $(3,3) \notin \rho$ - $4$ је паран, па $(4,4) \in \rho$ Релација није рефлексивна јер $(3,3) \notin \rho$. 10. Проверимо симетрију: ако $(a,b) \in \rho$, да ли је и $(b,a) \in \rho$? - Ако је $a$ паран, $(a,b) \in \rho$ без обзира на $b$. - Али $(b,a)$ је у релацији само ако је $b$ паран. - На пример, $(2,3) \in \rho$ јер је 2 паран, али $(3,2) \notin \rho$ јер 3 није паран. Релација није симетрична. 11. Задатак 13: Скуп $A = \{2,3,4\}$ и релација ρ са правилом $(a,b) \in \rho$ ако је $a$ или $b$ паран број. 12. Проверимо рефлексивност: - $(2,2)$: 2 је паран → у релацији - $(3,3)$: ни 3 ни 3 нису паран → није у релацији - $(4,4)$: 4 је паран → у релацији Релација није рефлексивна. 13. Проверимо симетрију: - Ако је $(a,b) \in \rho$, онда је $a$ или $b$ паран. - За $(b,a)$, $b$ или $a$ је паран, што је исто као и за $(a,b)$. Релација је симетрична. 14. Задатак 14: Релација ρ \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ са правилом $(a,b) \in \rho$ ако је $a \leq b$. 15. Проверимо рефлексивност: - За сваки $a$, $a \leq a$ → рефлексивна. 16. Проверимо симетрију: - Ако је $a \leq b$ и $b \leq a$, онда је $a = b$. - Али симетрија захтева да ако је $(a,b) \in \rho$, онда је и $(b,a) \in \rho$ за све парове. - Ово важи само ако су једнаки, па релација није симетрична. 17. Задатак 15: Проверимо транзитивност релације из претходног задатка. - Ако је $a \leq b$ и $b \leq c$, онда је $a \leq c$. - Дакле, релација је транзитивна. Одговори: - Задатак 10: $$\rho = \{(1,1), (2,1), (b,b), (a,a)\}$$ - Задатак 11: Табела и граф као горе - Задатак 12: Релација није рефлексивна нити симетрична - Задатак 13: Релација није рефлексивна али јесте симетрична - Задатак 14: Релација је рефлексивна али није симетрична - Задатак 15: Релација је транзитивна