1. Soal 1: Diketahui sebuah kanopi WF 150 panjang 120 cm, nilai $EI$ sebesar $420000\ \text{N/cm}^2$, massa $M=1100\ \text{kg}$, dan ada dua pegas paralel masing-masing $k=3\ \text{N/cm}$.\n 2. Pemahaman dan asumsi yang digunakan: kita anggap massa tereduksi berada pada satu titik (SDOF) dan pegas bekerja secara paralel sehingga k total adalah jumlah kedua pegas.\n 3. Rumus utama untuk frekuensi natural SDOF adalah: $\omega_n=\sqrt{\dfrac{k_{tot}}{m}}$ dan $f_n=\dfrac{\omega_n}{2\pi}$.\n 4. Konversi satuan dan hitungan k total: kedua pegas paralel memberi $k_{tot}=3+3=6\ \text{N/cm}$.\n 5. Konversi ke N/m menggunakan $1\ \text{N/cm}=100\ \text{N/m}$ menghasilkan $k_{tot}=6\times100=600\ \text{N/m}$.\n 6. Masukkan ke rumus: $\omega_n=\sqrt{\dfrac{600}{1100}}=\sqrt{0.5454545\dots}=0.7385489\ \text{rad/s}$.\n 7. Frekuensi dalam Hz adalah $f_n=\dfrac{0.7385489}{2\pi}=0.117556\ \text{Hz}\approx0.118\ \text{Hz}$.\n 8. Catatan tentang $EI$ dan panjang balok: nilai $EI$ dan panjang balok diperlukan bila perilaku lentur balok memberi kekakuan signifikan terhadap perpindahan vertikal; dalam soal ini diberikan pegas eksplisit dan kita berasumsi pegas mendominasi kekakuan vertikal sehingga perhitungan SDOF di atas berlaku.\n 9. Jawaban singkat Soal 1: $\omega_n\approx0.7386\ \text{rad/s}$ dan $f_n\approx0.118\ \text{Hz}$.\n 1. Soal 2: Sistem 2-derajat kebebasan dengan massa $m_1=2$, $m_2=1$ dan pegas $k_1=k_2=2$. Tentukan frekuensi alami dan pola normalnya.\n 2. Tuliskan matriks massa dan kekakuan: $$M=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix},\quad K=\begin{pmatrix}k_1+k_2 & -k_2\\-k_2 & k_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & -2\\-2 & 2\end{pmatrix}.$$\n 3. Persamaan karakteristik untuk frekuensi sendiri adalah $\det(K-\omega^2 M)=0$.\n 4. Hitung determinan: $$\det\bigg(\begin{pmatrix}4 & -2\\-2 & 2\end{pmatrix}-\omega^2\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\bigg)=0.$$\n 5. Ini memberi persamaan skalar (setelah dikembangkan): $$\omega^4-4\omega^2+2=0.$$\n 6. Substitusi $x=\omega^2$ menghasilkan $$x^2-4x+2=0$$ sehingga $$x=2\pm\sqrt{2}.$$\n 7. Maka nilai eigen untuk $\omega^2$ adalah $$\omega_1^2=2-\sqrt{2},\quad \omega_2^2=2+\sqrt{2}.$$\n 8. Sehingga frekuensi sudutnya adalah $$\omega_1=\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx0.765366\ \text{rad/s},\quad \omega_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}\approx1.847759\ \text{rad/s}.$$\n 9. Konversi ke frekuensi dalam Hz: $$f_1=\dfrac{\omega_1}{2\pi}\approx0.1218\ \text{Hz},\quad f_2=\dfrac{\omega_2}{2\pi}\approx0.2941\ \text{Hz}.$$\n 10. Pola normal (mode shapes) diperoleh dari solusi $ (K-\omega^2 M)\phi=0$.\n 11. Untuk $\omega_1^2=2-\sqrt{2}$ didapat rasio komponen mode: $$\phi_2=\sqrt{2}\,\phi_1.$$ Jadi mode 1 bisa dipilih proporsional terhadap $$\phi^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\end{pmatrix}.$$\n 12. Untuk $\omega_2^2=2+\sqrt{2}$ didapat $$\phi_2=-\sqrt{2}\,\phi_1.$$ Jadi mode 2 bisa dipilih proporsional terhadap $$\phi^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\end{pmatrix}.$$\n 13. Interpretasi: mode pertama adalah gerak in fase kedua massa dengan perbandingan amplitudo $1:\sqrt{2}$, dan mode kedua adalah gerak berlawanan fase dengan perbandingan amplitudo $1:-\sqrt{2}$.\n 14. Jawaban singkat Soal 2: $$\omega_{1,2}=\sqrt{2\mp\sqrt{2}},\quad f_{1}\approx0.1218\ \text{Hz},\ f_{2}\approx0.2941\ \text{Hz},$$ pola normal $$\phi^{(1)}\propto\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\end{pmatrix},\ \phi^{(2)}\propto\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\end{pmatrix}.$$\n 15. Catatan akhir: Saya dapat menyiapkan dokumen PDF siap cetak yang merangkum langkah-langkah dan gambar bila Anda menginginkannya; silakan konfirmasi apakah Anda mau tata letak satu halaman atau multi-halaman dan apakah gambar/sketsa harus disertakan.\n