1. **Διατύπωση του προβλήματος:** Δίνεται η διαφορική εξίσωση $$\left(m+\frac{2I}{r^2}\right)s'' = \frac{1}{r}(t_r - t_l) - b s' s'$$ με αρχικές συνθήκες $$s(0) = s_0$$ και $$s'(0) = 0$$. 2. **Στόχος:** Να διατυπωθούν οι τύποι για την επίλυση του προβλήματος αρχικής τιμής (Π.Α.Τ.) με τη μέθοδο Taylor α’ τάξης. 3. **Βασική ιδέα της μεθόδου Taylor α’ τάξης:** Η μέθοδος Taylor α’ τάξης χρησιμοποιεί την προσέγγιση $$s(t+h) = s(t) + h s'(t) + O(h^2)$$ και $$s'(t+h) = s'(t) + h s''(t) + O(h^2)$$ όπου $h$ είναι το βήμα χρόνου. 4. **Υπολογισμός $s''(t)$ από την εξίσωση:** Από την εξίσωση έχουμε $$s'' = \frac{1}{m + \frac{2I}{r^2}} \left( \frac{1}{r}(t_r - t_l) - b s' s' \right)$$ 5. **Βήματα επίλυσης:** - Ξεκινάμε από τις αρχικές τιμές $$s(0) = s_0$$ και $$s'(0) = 0$$. - Υπολογίζουμε $$s''(0)$$ από τον τύπο στο βήμα 4. - Ενημερώνουμε τις τιμές για $$s(h)$$ και $$s'(h)$$ με τη μέθοδο Taylor α’ τάξης: $$s(h) = s(0) + h s'(0)$$ $$s'(h) = s'(0) + h s''(0)$$ - Επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω για κάθε επόμενο βήμα χρόνου. 6. **Συμβολική διατύπωση τύπων:** Για κάθε βήμα $n$ με χρόνο $t_n = n h$: $$s_{n+1} = s_n + h s'_n$$ $$s'_{n+1} = s'_n + h \frac{1}{m + \frac{2I}{r^2}} \left( \frac{1}{r}(t_r - t_l) - b s'_n s'_n \right)$$ 7. **Σημαντικές παρατηρήσεις:** - Η μέθοδος Taylor α’ τάξης είναι απλή αλλά απαιτεί μικρά βήματα $h$ για ακρίβεια. - Οι παράμετροι $m, I, r, b, t_r, t_l$ πρέπει να είναι γνωστοί ή να δίνονται. Αυτά είναι τα βήματα που χρειάζεται να ακολουθήσεις για να λύσεις το πρόβλημα με τη μέθοδο Taylor α’ τάξης.