1. مسئله: معادله دیفرانسیل $$T_2''(t) + 4 T_2(t) = \cos(2t)$$ را حل کنید. 2. فرمول و روش کلی: این معادله یک معادله دیفرانسیل خطی غیرهمگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت است. ابتدا معادله همگن متناظر را حل می‌کنیم: $$T_2''(t) + 4 T_2(t) = 0$$ 3. حل معادله همگن: معادله مشخصه به صورت $$r^2 + 4 = 0$$ است. 4. ریشه‌ها: $$r = \pm 2i$$ 5. جواب عمومی معادله همگن: $$T_h(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t)$$ 6. حل خاص معادله غیرهمگن: چون سمت راست معادله $$\cos(2t)$$ است و این تابع در جواب همگن وجود دارد، باید جواب خاص را به صورت زیر فرض کنیم: $$T_p(t) = t (A \sin(2t) + B \cos(2t))$$ 7. مشتق اول و دوم $$T_p(t)$$ را محاسبه می‌کنیم: $$T_p'(t) = A \sin(2t) + B \cos(2t) + t (2A \cos(2t) - 2B \sin(2t))$$ $$T_p''(t) = 2A \cos(2t) - 2B \sin(2t) + 2A \cos(2t) - 2B \sin(2t) + t (-4A \sin(2t) - 4B \cos(2t))$$ که ساده شده: $$T_p''(t) = 4A \cos(2t) - 4B \sin(2t) + t (-4A \sin(2t) - 4B \cos(2t))$$ 8. جایگذاری در معادله اصلی: $$T_p''(t) + 4 T_p(t) = [4A \cos(2t) - 4B \sin(2t) + t (-4A \sin(2t) - 4B \cos(2t))] + 4 t (A \sin(2t) + B \cos(2t))$$ 9. ساده‌سازی: عبارت‌های وابسته به $$t$$ حذف می‌شوند: $$t (-4A \sin(2t) - 4B \cos(2t)) + 4 t (A \sin(2t) + B \cos(2t)) = 0$$ پس باقی می‌ماند: $$4A \cos(2t) - 4B \sin(2t) = \cos(2t)$$ 10. مقایسه ضرایب: ضریب $$\cos(2t)$$: $$4A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{4}$$ ضریب $$\sin(2t)$$: $$-4B = 0 \Rightarrow B = 0$$ 11. جواب خاص: $$T_p(t) = t \times \frac{1}{4} \sin(2t) = \frac{t}{4} \sin(2t)$$ 12. جواب کلی معادله: $$T_2(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) + \frac{t}{4} \sin(2t)$$ این جواب نهایی معادله داده شده است.