1. مسئله: حل معادله دیفرانسیل $$x^2 y'' + 2xy' + xy = 0$$ به روش سری حول نقطه $$x=0$$. 2. روش سری: فرض می‌کنیم جواب به صورت سری توانی باشد: $$y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r}$$ که $$r$$ عددی است که باید تعیین شود. 3. مشتقات را محاسبه می‌کنیم: $$y' = \sum_{n=0}^\infty a_n (n+r) x^{n+r-1}$$ $$y'' = \sum_{n=0}^\infty a_n (n+r)(n+r-1) x^{n+r-2}$$ 4. جایگذاری در معادله: $$x^2 y'' + 2x y' + x y = 0$$ می‌شود: $$x^2 \sum_{n=0}^\infty a_n (n+r)(n+r-1) x^{n+r-2} + 2x \sum_{n=0}^\infty a_n (n+r) x^{n+r-1} + x \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r} = 0$$ 5. ساده‌سازی توان‌ها: $$\sum_{n=0}^\infty a_n (n+r)(n+r-1) x^{n+r} + 2 \sum_{n=0}^\infty a_n (n+r) x^{n+r} + \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r+1} = 0$$ 6. جمع دو جمله اول را ترکیب می‌کنیم: $$\sum_{n=0}^\infty a_n \left[(n+r)(n+r-1) + 2(n+r)\right] x^{n+r} + \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r+1} = 0$$ 7. عبارت داخل کروشه را ساده می‌کنیم: $$(n+r)(n+r-1) + 2(n+r) = (n+r)^2 - (n+r) + 2(n+r) = (n+r)^2 + (n+r)$$ 8. پس معادله به شکل زیر است: $$\sum_{n=0}^\infty a_n (n+r)^2 + (n+r) x^{n+r} + \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r+1} = 0$$ 9. جمله دوم را اندیسش را تغییر می‌دهیم تا توان‌ها برابر شوند: جایگزین کنیم $$n \to n-1$$: $$\sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^{n+r}$$ 10. معادله نهایی: $$a_0 r^2 x^r + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n (n+r)^2 + (n+r) + a_{n-1}\right] x^{n+r} = 0$$ 11. برای اینکه معادله برای همه $$x$$ برقرار باشد، ضرایب توان‌های مختلف باید صفر شوند: - معادله ایندکس صفر: $$a_0 r^2 = 0 \Rightarrow r^2 = 0 \Rightarrow r=0$$ - رابطه بازگشتی برای $$n \geq 1$$: $$a_n (n+r)^2 + (n+r) + a_{n-1} = 0 \Rightarrow a_n = -\frac{a_{n-1}}{(n+r)^2 + (n+r)}$$ 12. با توجه به $$r=0$$: $$a_n = -\frac{a_{n-1}}{n^2 + n} = -\frac{a_{n-1}}{n(n+1)}$$ 13. محاسبه چند جمله اول: $$a_1 = -\frac{a_0}{1 \times 2} = -\frac{a_0}{2}$$ $$a_2 = -\frac{a_1}{2 \times 3} = -\frac{-a_0/2}{6} = \frac{a_0}{12}$$ $$a_3 = -\frac{a_2}{3 \times 4} = -\frac{a_0/12}{12} = -\frac{a_0}{144}$$ 14. جواب کلی سری: $$y = a_0 \left[1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} - \frac{x^3}{144} + \cdots \right]$$ 15. این سری جواب معادله دیفرانسیل داده شده است به روش سری توانی حول $$x=0$$. پاسخ نهایی: $$y = a_0 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{\prod_{k=1}^n k(k+1)}$$ که $$a_0$$ ثابت دلخواه است.