1. Vamos resolver as aproximações para as soluções dos problemas de valor inicial (PVI) usando o método de Euler com passo $h=0,1$. O método de Euler é dado pela fórmula: $$y_{n+1} = y_n + h f(x_n,y_n)$$ onde $f(x,y)$ é a função derivada dada pela equação diferencial. 2. Problema a) Equação: $y' = x - y + 2$, com $y(0) = 2$, no intervalo $[0,1]$. Passo $h=0,1$, pontos: $x_0=0$, $x_1=0,1$, ..., $x_{10}=1$. 3. Calculamos iterativamente: $y_0=2$ $y_1 = y_0 + 0,1 (x_0 - y_0 + 2) = 2 + 0,1(0 - 2 + 2) = 2$ $y_2 = y_1 + 0,1 (x_1 - y_1 + 2) = 2 + 0,1(0,1 - 2 + 2) = 2 + 0,1(0,1) = 2,01$ Continuar até $x=1$. 4. Problema b) Equação: $\frac{dy}{dx} = -xy$, com $y(0) = 1$, no intervalo $[0,1]$. Usamos Euler: $y_0=1$ $y_1 = y_0 + 0,1 (-x_0 y_0) = 1 + 0,1 (0) = 1$ $y_2 = y_1 + 0,1 (-x_1 y_1) = 1 + 0,1 (-0,1 \times 1) = 0,99$ Continuar até $x=1$. 5. Problema c) Equação: $\frac{dy}{dt} = 2y \left(\frac{92 - y}{92}\right)$, com $y(0) = 10$, no intervalo $[0,3]$. Passo $h=0,1$, pontos $t_0=0$ até $t_{30}=3$. 6. Aplicando Euler: $y_0=10$ $y_1 = y_0 + 0,1 \times 2 y_0 \left(\frac{92 - y_0}{92}\right) = 10 + 0,1 \times 2 \times 10 \times \frac{82}{92} \approx 10 + 1,7826 = 11,7826$ Continuar até $t=3$. 7. Problema d) Equação: $u'(t) = -0,5 u(t) + 2 + t$, com $u(0) = 8$, no intervalo $[0,1]$. Passo $h=0,1$. 8. Aplicando Euler: $u_0=8$ $u_1 = u_0 + 0,1 (-0,5 \times 8 + 2 + 0) = 8 + 0,1 (-4 + 2) = 8 - 0,2 = 7,8$ Continuar até $t=1$. Esses passos mostram como calcular as aproximações para cada PVI usando o método de Euler com passo $h=0,1$. Para obter os valores completos, basta repetir as iterações até o final do intervalo especificado.