1. Мәселені айқындау: Берілген дифференциалдық теңдеу $$y'(x) = 4 \int_0^x (t - x) y(t) \, dt + 3 \cos x$$ мұндағы $y'(x)$ — $y(x)$ функциясының туындысы, ал интегралдың шегі 0-ден $x$-ке дейін. 2. Теңдеуді шешу үшін алдымен интегралды қарастырайық. Интегралда $(t - x) y(t)$ бар, мұндағы $t$ — интеграл айнымалысы, ал $x$ — параметр. 3. Теңдеуді дифференциалдық теңдеуге келтіру үшін интегралды дифференциалдау керек. Теңдеуді екі жақтан $x$ бойынша дифференциалдаймыз: $$y''(x) = 4 \frac{d}{dx} \int_0^x (t - x) y(t) \, dt + 3 \frac{d}{dx} \cos x$$ 4. Лейбниц ережесін қолданамыз: $$\frac{d}{dx} \int_0^x f(t,x) \, dt = f(x,x) + \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} f(t,x) \, dt$$ мұндағы $f(t,x) = (t - x) y(t)$. 5. Есептейміз: $$f(x,x) = (x - x) y(x) = 0$$ $$\frac{\partial}{\partial x} f(t,x) = \frac{\partial}{\partial x} ((t - x) y(t)) = - y(t)$$ 6. Сондықтан: $$\frac{d}{dx} \int_0^x (t - x) y(t) \, dt = 0 + \int_0^x (- y(t)) \, dt = - \int_0^x y(t) \, dt$$ 7. Сонымен, теңдеу: $$y''(x) = 4 \left(- \int_0^x y(t) \, dt \right) - 3 \sin x = -4 \int_0^x y(t) \, dt - 3 \sin x$$ 8. Енді $z(x) = \int_0^x y(t) \, dt$ деп алайық. Сонда $z'(x) = y(x)$ және $z''(x) = y'(x)$. 9. Алғашқы теңдеуден $y'(x) = 4 \int_0^x (t - x) y(t) \, dt + 3 \cos x$ екенін білеміз. 10. Бірақ біз $y''(x)$-ті $z$ арқылы жаздық, сондықтан: $$y''(x) = -4 z(x) - 3 \sin x$$ 11. $y(x) = z'(x)$ және $y''(x) = z''(x)$ болғандықтан: $$z''(x) = -4 z(x) - 3 \sin x$$ 12. Бұл екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу, оны шешеміз: Гомогендік теңдеу: $$z'' + 4 z = 0$$ характеристикалық теңдеу: $$r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i$$ 13. Гомогендік шешім: $$z_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$$ 14. Ерекше шешімді табу үшін, оң жақтағы $-3 \sin x$ функциясына сәйкес түрін аламыз: $$z_p = A \cos x + B \sin x$$ 15. $z_p$-ны теңдеуге қойып, коэффициенттерді анықтаймыз: $$z_p'' + 4 z_p = -3 \sin x$$ $$-A \cos x - B \sin x + 4 A \cos x + 4 B \sin x = -3 \sin x$$ $$ (4A - A) \cos x + (4B - B) \sin x = -3 \sin x$$ $$3A \cos x + 3B \sin x = -3 \sin x$$ 16. Коэффициенттерді теңестіреміз: $$3A = 0 \Rightarrow A = 0$$ $$3B = -3 \Rightarrow B = -1$$ 17. Сондықтан: $$z_p = - \sin x$$ 18. Жалпы шешім: $$z = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x - \sin x$$ 19. $y(x) = z'(x)$ болғандықтан: $$y = z' = -2 C_1 \sin 2x + 2 C_2 \cos 2x - \cos x$$ 20. Қорытынды: Берілген теңдеудің жалпы шешімі $$\boxed{y(x) = -2 C_1 \sin 2x + 2 C_2 \cos 2x - \cos x}$$ мұндағы $C_1$ және $C_2$ — еркін тұрақтылар.