1. نبدأ ببيان المسألة: نحن نبحث عن الحل الوحيد للمعادلة التفاضلية $$y' = y$$ مع الشرط الابتدائي $$y(0) = 1$$. 2. لحل المعادلة التفاضلية: المعادلة هي من نوع المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى ويمكن حلها بفصل المتغيرات أو استخدام الطريقة المعروفة للحل: $$\frac{dy}{dx} = y \implies \frac{dy}{y} = dx$$ 3. بالتكامل على كلا الطرفين: $$\int \frac{dy}{y} = \int dx \implies \ln|y| = x + C$$ 4. نأخذ الأس كي نحصل على: $$|y| = e^{x+C} = e^Ce^x$$ 5. نعيد كتابة الثابت على شكل $$A = e^C$$، إذن: $$y = A e^x$$ 6. من الشرط الابتدائي $$y(0) = 1$$، نحصل على: $$1 = A e^0 = A \implies A = 1$$ 7. إذن الحل النهائي هو: $$y = e^x$$ 8. أما المعادلة الدالية $$f(x+y) = f(x) \times f(y)$$ مع الشرط $$f'(x) = f(x)$$ و $$f(0) = 1$$ توضح أن دالة $$f$$ هي الدالة الأسية النيبيرية $$\exp(x) = e^x$$، لأنها تحقق خاصية الإضافة والتفاضل المحدد. 9. بالنسبة للدالة $$H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$$ حيث $$g$$ تحقق علاقة معينة، نحسب مشتقة $$H$$ باستخدام قاعدة القسمة: $$H'(x) = \frac{g'(x) f(x) - g(x) f'(x)}{[f(x)]^2}$$ إذ أن $$f'(x) = f(x)$$، فيمكن تبسيط التعبير حسب العلاقة المعطاة لـ $$g$$. 10. الخلاصة، الدالة $$f(x) = e^x$$ هي الحل الوحيد للمعادلة التفاضلية والمعادلة الدالية بهذا الشرط الابتدائي، وهي تُعرف بالدالة الأسية النيبيرية وترمز لها بالرمز $$\exp$$.