1. Задачата е да намерим кривата на решенията на диференциалното уравнение $$\frac{dy}{dx} = \sqrt{xy}$$, която минава през точката $(0,9)$.\n\n2. Започваме с уравнението: $$\frac{dy}{dx} = \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}.$$\n\n3. За да решим, разделяме променливите: $$\frac{dy}{\sqrt{y}} = \sqrt{x} dx.$$\n\n4. Интегрираме и двете страни: $$\int y^{-1/2} dy = \int x^{1/2} dx.$$\n\n5. Интегралите са: $$2 \sqrt{y} = \frac{2}{3} x^{3/2} + C,$$ където $C$ е константа на интеграция.\n\n6. Умножаваме двете страни по $\frac{1}{2}$: $$\sqrt{y} = \frac{1}{3} x^{3/2} + \frac{C}{2}.$$\n\n7. Повдигаме на квадрат: $$y = \left( \frac{1}{3} x^{3/2} + \frac{C}{2} \right)^2 = \frac{1}{9} x^3 + \frac{C}{3} x^{3/2} + \frac{C^2}{4}.$$\n\n8. Използваме началното условие $y(0) = 9$: $$9 = \frac{1}{9} \cdot 0 + \frac{C}{3} \cdot 0 + \frac{C^2}{4} = \frac{C^2}{4}.$$\n\n9. Решаваме за $C$: $$C^2 = 36 \implies C = \pm 6.$$\n\n10. Избираме $C = 6$ (за да получим положителен член $2 x^{3/2}$):\n$$\frac{C}{3} = \frac{6}{3} = 2,$$\nтака че решението е: $$y = \frac{1}{9} x^3 + 2 x^{3/2} + 9.$$\n\nОтговорът е Б) $y = \frac{1}{9} x^3 + 2 x^{3/2} + 9$.