1. Das Problem besteht darin, die allgemeine reelle Lösung des Differenzialgleichungssystems $$\dot{x}(t) = \begin{pmatrix} 2 & 52 \\ -1 & -10 \end{pmatrix} x(t)$$ zu bestimmen, wobei die Eigenwerte $$\lambda = -4 \pm 4i$$ gegeben sind. 2. Für ein lineares System mit komplexen Eigenwerten $$\lambda = \alpha \pm \beta i$$ ist die allgemeine reelle Lösung gegeben durch: $$x(t) = e^{\alpha t} \left( C_1 \Re(v e^{i \beta t}) + C_2 \Im(v e^{i \beta t}) \right)$$ Hierbei ist $$v$$ der Eigenvektor zum Eigenwert $$\lambda = \alpha + i \beta$$, $$C_1, C_2$$ sind Konstanten. 3. Die Eigenwerte sind $$\lambda = -4 \pm 4i$$, also $$\alpha = -4$$ und $$\beta = 4$$. 4. Wir bestimmen den Eigenvektor $$v$$ zum Eigenwert $$\lambda = -4 + 4i$$ durch Lösen von: $$\left( A - \lambda I \right) v = 0$$ mit $$A = \begin{pmatrix} 2 & 52 \\ -1 & -10 \end{pmatrix}$$ und $$I$$ der Einheitsmatrix. 5. Berechnung: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - (-4 + 4i) & 52 \\ -1 & -10 - (-4 + 4i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 4i & 52 \\ -1 & -6 - 4i \end{pmatrix}$$ 6. Das Gleichungssystem lautet: $$ (6 - 4i) v_1 + 52 v_2 = 0 $$ $$ -v_1 + (-6 - 4i) v_2 = 0 $$ 7. Aus der zweiten Gleichung folgt: $$ v_1 = (-6 - 4i) v_2 $$ 8. Setzen wir in die erste Gleichung ein: $$ (6 - 4i)(-6 - 4i) v_2 + 52 v_2 = 0 $$ 9. Berechnung des Produkts: $$ (6 - 4i)(-6 - 4i) = -36 - 24i + 24i + 16 i^2 = -36 + 16(-1) = -36 - 16 = -52 $$ 10. Somit: $$ -52 v_2 + 52 v_2 = 0 $$ was immer wahr ist, also ist $$v_2$$ frei wählbar. 11. Wählen wir $$v_2 = 1$$, dann ist: $$ v_1 = -6 - 4i $$ 12. Der Eigenvektor ist: $$ v = \begin{pmatrix} -6 - 4i \\ 1 \end{pmatrix} $$ 13. Die allgemeine reelle Lösung ist: $$ x(t) = e^{-4t} \left[ C_1 \Re \left( v e^{4 i t} \right) + C_2 \Im \left( v e^{4 i t} \right) \right] $$ 14. Berechnen wir $$v e^{4 i t}$$: $$ e^{4 i t} = \cos(4t) + i \sin(4t) $$ 15. Somit: $$ v e^{4 i t} = \begin{pmatrix} (-6 - 4i)(\cos(4t) + i \sin(4t)) \\ 1 \cdot (\cos(4t) + i \sin(4t)) \end{pmatrix} $$ 16. Für die erste Komponente: $$ (-6 - 4i)(\cos(4t) + i \sin(4t)) = -6 \cos(4t) - 6 i \sin(4t) - 4 i \cos(4t) - 4 i^2 \sin(4t) $$ 17. Da $$i^2 = -1$$, wird: $$ = -6 \cos(4t) - 6 i \sin(4t) - 4 i \cos(4t) + 4 \sin(4t) $$ 18. Gruppieren Real- und Imaginärteile: Realteil: $$ -6 \cos(4t) + 4 \sin(4t) $$ Imaginärteil: $$ -6 \sin(4t) - 4 \cos(4t) $$ 19. Für die zweite Komponente: Realteil: $$ \cos(4t) $$ Imaginärteil: $$ \sin(4t) $$ 20. Die allgemeine reelle Lösung lautet daher: $$ x(t) = e^{-4t} \left[ C_1 \begin{pmatrix} -6 \cos(4t) + 4 \sin(4t) \\ \cos(4t) \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} -6 \sin(4t) - 4 \cos(4t) \\ \sin(4t) \end{pmatrix} \right] $$ Dies ist die allgemeine reelle Lösung des gegebenen Systems.