1. مسئله: حل معادله دیفرانسیل برنولی به شکل $$y' + \frac{y}{x} = x^r y^r$$ است. 2. فرمول و روش حل: معادله برنولی به صورت کلی $$y' + P(x)y = Q(x)y^n$$ است. برای حل، ابتدا متغیر جدید $$z = y^{1-n}$$ تعریف می‌کنیم. 3. در معادله داده شده، $$P(x) = \frac{1}{x}$$، $$Q(x) = x^r$$ و $$n = r$$ است. 4. تعریف $$z = y^{1-r}$$ را جایگزین می‌کنیم و مشتق $$z$$ را نسبت به $$x$$ محاسبه می‌کنیم: $$z' = (1-r) y^{-r} y'$$ 5. از معادله اصلی، $$y' = x^r y^r - \frac{y}{x}$$ است. این را در رابطه $$z'$$ قرار می‌دهیم: $$z' = (1-r) y^{-r} \left(x^r y^r - \frac{y}{x}\right) = (1-r) \left(x^r - \frac{y^{1-r}}{x}\right) = (1-r) \left(x^r - \frac{z}{x}\right)$$ 6. معادله برای $$z$$ به صورت زیر است: $$z' + \frac{1-r}{x} z = (1-r) x^r$$ 7. این یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول برای $$z$$ است. ضریب انتگرال گیرنده: $$\mu(x) = e^{\int \frac{1-r}{x} dx} = e^{(1-r) \ln|x|} = x^{1-r}$$ 8. معادله را در $$\mu(x)$$ ضرب می‌کنیم: $$x^{1-r} z' + x^{1-r} \frac{1-r}{x} z = (1-r) x^{r} x^{1-r}$$ 9. سمت چپ برابر است با مشتق حاصلضرب: $$\frac{d}{dx} (x^{1-r} z) = (1-r) x^{r + 1 - r} = (1-r) x^{1}$$ 10. انتگرال دو طرف: $$x^{1-r} z = \int (1-r) x dx = (1-r) \frac{x^2}{2} + C$$ 11. حل برای $$z$$: $$z = x^{r-1} \left( (1-r) \frac{x^2}{2} + C \right) = (1-r) \frac{x^{r+1}}{2} + C x^{r-1}$$ 12. یادآوری کنیم که $$z = y^{1-r}$$ پس: $$y^{1-r} = (1-r) \frac{x^{r+1}}{2} + C x^{r-1}$$ 13. در نهایت: $$y = \left((1-r) \frac{x^{r+1}}{2} + C x^{r-1}\right)^{\frac{1}{1-r}}$$ این جواب کلی معادله برنولی داده شده است.