1. مسئله: حل معادله دیفرانسیل برنولی $y' + \frac{y}{x} = x^4 y^3$. 2. معادله برنولی به شکل کلی است: $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ که در اینجا $P(x) = \frac{1}{x}$، $Q(x) = x^4$ و $n=3$. 3. برای حل، ابتدا متغیر کمکی $z = y^{1-n} = y^{1-3} = y^{-2}$ را تعریف می‌کنیم. 4. مشتق $z$ نسبت به $x$ برابر است با: $$z' = (1-n)y^{-n}y' = -2 y^{-3} y'$$ 5. از معادله اصلی داریم: $$y' = -\frac{y}{x} + x^4 y^3$$ 6. جایگذاری در رابطه $z'$: $$z' = -2 y^{-3} \left(-\frac{y}{x} + x^4 y^3\right) = -2 \left(-\frac{y^{-2}}{x} + x^4\right) = -2 \left(-\frac{z}{x} + x^4\right) = \frac{2z}{x} - 2 x^4$$ 7. معادله جدید برای $z$ به صورت خطی است: $$z' - \frac{2}{x} z = -2 x^4$$ 8. ضریب انتگرال‌گیرنده: $$\mu(x) = e^{-\int \frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = x^{-2}$$ 9. ضرب معادله در $\mu(x)$: $$x^{-2} z' - \frac{2}{x} x^{-2} z = -2 x^4 x^{-2} \Rightarrow (x^{-2} z)' = -2 x^{2}$$ 10. انتگرال‌گیری دو طرف: $$x^{-2} z = \int -2 x^{2} dx = -2 \frac{x^{3}}{3} + C = -\frac{2}{3} x^{3} + C$$ 11. حل برای $z$: $$z = x^{2} \left(-\frac{2}{3} x^{3} + C\right) = -\frac{2}{3} x^{5} + C x^{2}$$ 12. بازگرداندن به $y$: $$y^{-2} = z = -\frac{2}{3} x^{5} + C x^{2}$$ 13. در نهایت: $$y = \pm \frac{1}{\sqrt{-\frac{2}{3} x^{5} + C x^{2}}}$$ این جواب کلی معادله دیفرانسیل برنولی داده شده است.