1. Staðfesta vandamálið: Við eigum að leysa fyrstu stigs afleiðujöfnur. 2. Fyrsta jöfnan: $y' + y = e^x$ - Þetta er línuleg fyrsta stigs afleiðujafna á formi $y' + p(x)y = q(x)$ þar sem $p(x) = 1$ og $q(x) = e^x$. - Lausnaraðferð: nota samþættingarstuðul $\mu(x) = e^{\int p(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$. 3. Margfalda jöfnuna með samþættingarstuðlinum: $$e^x y' + e^x y = e^x e^x = e^{2x}$$ - Vinstri hliðin er afleiða af $e^x y$: $$\frac{d}{dx}(e^x y) = e^{2x}$$ 4. Heildum báðar hliðar: $$e^x y = \int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$$ 5. Einangra $y$: $$y = e^{-x} \left( \frac{e^{2x}}{2} + C \right) = \frac{e^x}{2} + C e^{-x}$$ 6. Önnur jöfnan: $y' = 1 + y^2$ - Þetta er aðskiljanleg afleiðujafna. - Skrifum sem: $$\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$$ 7. Aðskiljum breytur: $$\frac{dy}{1 + y^2} = dx$$ 8. Heildum báðar hliðar: $$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int dx$$ - Vinstri hlið er $\arctan y$, hægri hlið er $x + C$: $$\arctan y = x + C$$ 9. Einangra $y$: $$y = \tan(x + C)$$ Niðurstaða: - Fyrsta jöfnan: $$y = \frac{e^x}{2} + C e^{-x}$$ - Önnur jöfnan: $$y = \tan(x + C)$$