1. El problema presenta varios conjuntos y definiciones: - Conjunto $E = \{x - 3\sqrt{x} + 1 \mid x \in \mathbb{R}^+\}$. - Conjunto $F = \{x + 1 \mid n \in \mathbb{R}^+\}$ (parece haber un error tipográfico, asumo que $F = \{n + 1 \mid n \in \mathbb{R}^+\}$). 2. Se menciona que $3 \in E$, lo que implica que existe un $x \in \mathbb{R}^+$ tal que: $$x - 3\sqrt{x} + 1 = 3$$ 3. Resolvamos para $x$: $$x - 3\sqrt{x} + 1 = 3 \implies x - 3\sqrt{x} = 2$$ Sea $t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2$, entonces: $$t^2 - 3t = 2 \implies t^2 - 3t - 2 = 0$$ 4. Resolviendo la cuadrática: $$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$ Como $t = \sqrt{x} > 0$, tomamos la solución positiva: $$t = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$ 5. Por lo tanto, $$x = t^2 = \left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right)^2$$ 6. Se menciona que $(2f - 1) \in E \times F$, lo que significa que el elemento $(2f - 1)$ pertenece al producto cartesiano de $E$ y $F$. Esto implica que: - $2f - 1$ es un par ordenado $(e, f)$ con $e \in E$ y $f \in F$. 7. También se indica que $E \cap F \neq \emptyset$, es decir, los conjuntos $E$ y $F$ tienen al menos un elemento en común. 8. Se da que $E = [-2,1]$, lo que contradice la definición inicial de $E$ con $x \in \mathbb{R}^+$, pero usaremos este intervalo para análisis. 9. Finalmente, se menciona la intersección $E \times N \cap (Z \times F)$, que es la intersección entre el producto cartesiano de $E$ y $N$ con el producto cartesiano de $Z$ y $F$. 10. Para que esta intersección no sea vacía, debe existir un par $(a,b)$ tal que: - $a \in E$ y $b \in N$ - $a \in Z$ y $b \in F$ Esto implica que $a \in E \cap Z$ y $b \in N \cap F$. **Respuesta final:** - El valor de $x$ que verifica $3 \in E$ es: $$x = \left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right)^2$$ - La intersección $E \cap F$ es no vacía si existe al menos un elemento común. - La intersección $E \times N \cap (Z \times F)$ contiene los pares $(a,b)$ con $a \in E \cap Z$ y $b \in N \cap F$. Esto concluye el análisis de los conjuntos y sus relaciones dadas.