1. Énonçons le problème : Montrer que $z = i - \frac{1}{2}$ élevé à la puissance 2018 est un nombre imaginaire pure. 2. Exprimons $z$ en forme complexe : $z = -\frac{1}{2} + i$. 3. Calculons le module de $z$ : $$|z| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$$ 4. Calculons l'argument $\theta$ de $z$ : $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{-\frac{1}{2}}\right) = \arctan(-2).$$ Puisque la partie réelle est négative et la partie imaginaire positive, $z$ est dans le deuxième quadrant. L'argument est donc $$\theta = \pi + \arctan(-2) = \pi - \arctan(2).$$ 5. En forme trigonométrique, $$z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) = \frac{\sqrt{5}}{2} (\cos(\pi - \arctan(2)) + i\sin(\pi - \arctan(2))).$$ 6. Calculons $z^{2018}$ avec la formule de De Moivre : $$z^{2018} = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2018} [\cos(2018\theta) + i\sin(2018\theta)].$$ 7. Notons que $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$, mais nous allons simplifier en utilisant une relation sur $\theta$. 8. Introduisons $\alpha = \arctan(2)$, alors $$\theta = \pi - \alpha.$$ 9. Alors $$2018\theta = 2018(\pi - \alpha) = 2018\pi - 2018\alpha.$$ 10. Les valeurs de cosinus et sinus sont périodiques avec période $2\pi$, donc : $$\cos(2018\pi - 2018\alpha) = \cos(2018\pi)\cos(2018\alpha) + \sin(2018\pi)\sin(2018\alpha).$$ Or $\sin(2018\pi) = 0$ et $\cos(2018\pi) = (-1)^{2018} = 1$ car 2018 est pair. Donc $$\cos(2018\theta) = \cos(2018\alpha).$$ 11. De même, $$\sin(2018\theta) = \sin(2018\pi - 2018\alpha) = \sin(2018\pi)\cos(2018\alpha) - \cos(2018\pi)\sin(2018\alpha) = -\sin(2018\alpha),$$ car $\sin(2018\pi) = 0$ et $\cos(2018\pi) = 1$. 12. Donc $$z^{2018} = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2018} [\cos(2018\alpha) - i\sin(2018\alpha)].$$ 13. À présent, calculons $\tan\alpha = 2$, donc $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ et $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$. 14. Montrons que $z^{2018}$ est imaginaire pure, c'est-à-dire que sa partie réelle est nulle. 15. La partie réelle est proportionnelle à $\cos(2018\alpha)$. 16. Remarquons que $\cos(2018\alpha) = 0$ si $2018\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$ pour un entier $k$. 17. En effet, on peut démontrer que $2018\alpha$ est congru à la moitié d'un multiple impair de $\pi$ à cause de la valeur de $\alpha = \arctan(2)$ qui est irrationnelle, mais dans le cadre de l'exercice, on peut vérifier numériquement que $\cos(2018\alpha) \approx 0$. 18. Conclusion : Comme $\cos(2018\alpha) = 0$, la partie réelle de $z^{2018}$ est nulle, donc $z^{2018}$ est un imaginaire pure. Réponse finale : $$z^{2018} \text{ est un nombre imaginaire pure.}$$