1. **Énoncé du problème :** On considère l'équation dans $\mathbb{C}$ : $$z^2 - 2e^{i\theta}\cos\theta \cdot z + e^{2i\theta} = 0$$ avec $\theta \in ]0; \pi/2[$. 2. **Vérification que 1 est une racine de (E) :** Substituons $z=1$ dans l'équation : $$1^2 - 2e^{i\theta}\cos\theta \cdot 1 + e^{2i\theta} = 1 - 2e^{i\theta}\cos\theta + e^{2i\theta}$$ Rappelons que $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, donc $$1 - 2e^{i\theta} \cdot \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} + e^{2i\theta} = 1 - e^{i\theta}(e^{i\theta} + e^{-i\theta}) + e^{2i\theta} = 1 - (e^{2i\theta} + 1) + e^{2i\theta} = 0$$ Donc $z=1$ annule l'équation, c'est une racine. 3. **Trouver l'autre racine :** L'équation est un polynôme du second degré en $z$, donc la somme des racines vaut : $$z_1 + z_2 = 2e^{i\theta} \cos\theta$$ Or $z_1 = 1$, donc $$z_2 = 2e^{i\theta}\cos\theta - 1$$ C'est l'autre solution. 4. **Ensembles des points $B$ d'affixe $e^{i\theta}$ avec $\theta \in ]0; \pi/2[$ :** L'ensemble des points $B$ est les points du cercle unité (car $|e^{i\theta}|=1$) sur l'arc entre $0$ et $\pi/2$ radians dans le plan complexe. 5. **Montrer que $OACB$ est un losange :** Les points ont pour affixes : \- $O = 0$ \- $A = 1$ \- $C = 1 + e^{i\theta}$ \- $B = e^{i\theta}$ Calculons les vecteurs côtés : $$\overrightarrow{OA} = 1 - 0 = 1$$ $$\overrightarrow{AC} = (1 + e^{i\theta}) - 1 = e^{i\theta}$$ $$\overrightarrow{CB} = e^{i\theta} - (1 + e^{i\theta}) = -1$$ $$\overrightarrow{BO} = 0 - e^{i\theta} = -e^{i\theta}$$ Les longueurs des côtés : $$|\overrightarrow{OA}| = |1| = 1$$ $$|\overrightarrow{AC}| = |e^{i\theta}| = 1$$ $$|\overrightarrow{CB}| = |-1| = 1$$ $$|\overrightarrow{BO}| = |-e^{i\theta}| = 1$$ Tous les côtés ont la même longueur : donc $OACB$ est un quadrilatère équilatéral. De plus, $\overrightarrow{OA}$ est parallèle à $\overrightarrow{CB}$ (car $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{OA}$) et $\overrightarrow{AC}$ est parallèle à $\overrightarrow{BO}$ (car $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{AC}$). Ainsi, $OACB$ est un parallélogramme équilatéral, donc un losange. **Réponse finale :** \- 1 est bien racine de (E). \- L'autre racine est $z = 2e^{i\theta}\cos\theta - 1$. \- L'ensemble des points $B$ est l'arc du cercle unité situé entre $0$ et $\pi/2$ radians. \- Le quadrilatère $OACB$ est un losange.