1. **Énoncé du problème :** On considère les points A, B, C d’affixes respectives $Z_A=2$, $Z_B=1+i\sqrt{3}$, $Z_C=1 - i\sqrt{3}$ dans le plan complexe. 2. **Forme exponentielle de $Z_B$ et $Z_C$ :** Pour un nombre complexe $z = re^{i\theta}$, $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$. - Calcul de $|Z_B|$ : $$|Z_B| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$$ - Argument de $Z_B$ : $$\theta_B = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$$ Donc $$Z_B = 2 e^{i\pi/3}$$ - Calcul de $|Z_C|$ : $$|Z_C| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$$ - Argument de $Z_C$ : $$\theta_C = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$$ Donc $$Z_C = 2 e^{-i\pi/3}$$ 3. **Nature du quadrilatère OBAC :** Les points sont $O(0)$, $B(2 e^{i\pi/3})$, $A(2)$, $C(2 e^{-i\pi/3})$. - $|OB|=|OC|=2$, $|OA|=2$. - Les points $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l'axe réel. - Le quadrilatère OBAC est un losange car tous les côtés ont même longueur 2. 4. **Ensemble (D) des points $M$ tels que $|Z|=|Z-2|$ :** - Cette condition signifie que $M$ est équidistant de $O$ et $A$. - L'ensemble (D) est la médiatrice du segment $[OA]$. - Comme $O=0$ et $A=2$, la médiatrice est la droite verticale passant par $x=1$. 5. **Transformation $Z' = -4/(Z-2)$ pour $Z \neq 2$ :** 1) a) Résolution de $Z = -4/(Z-2)$ : $$Z(Z-2) = -4$$ $$Z^2 - 2Z + 4 = 0$$ Discriminant : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = -12 < 0$$ Pas de solution réelle, solutions complexes : $$Z = \frac{2 \pm i 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$$ Ce sont les affixes de $B$ et $C$. b) Points associés : - Pour $Z_B = 1 + i\sqrt{3}$, $$Z'_B = -4/(Z_B - 2) = -4/(1 + i\sqrt{3} - 2) = -4/(-1 + i\sqrt{3})$$ Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué : $$Z'_B = -4 \times \frac{-1 - i\sqrt{3}}{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = -4 \times \frac{-1 - i\sqrt{3}}{1 + 3} = -4 \times \frac{-1 - i\sqrt{3}}{4} = 1 + i\sqrt{3} = Z_B$$ De même pour $Z_C$, on trouve $Z'_C = Z_C$. c) Centre de gravité $G$ du triangle $OAB$ : $$Z_G = \frac{Z_O + Z_A + Z_B}{3} = \frac{0 + 2 + (1 + i\sqrt{3})}{3} = \frac{3 + i\sqrt{3}}{3} = 1 + \frac{i\sqrt{3}}{3}$$ Image $G'$ : $$Z'_{G} = -4/(Z_G - 2) = -4/(1 + \frac{i\sqrt{3}}{3} - 2) = -4/(-1 + \frac{i\sqrt{3}}{3})$$ Multiplier par le conjugué : $$Z'_{G} = -4 \times \frac{-1 - \frac{i\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = -4 \times \frac{-1 - \frac{i\sqrt{3}}{3}}{\frac{4}{3}} = -4 \times \frac{3}{4}(-1 - \frac{i\sqrt{3}}{3}) = -3(-1 - \frac{i\sqrt{3}}{3}) = 3 + i\sqrt{3}$$ 6. **Propriété sur les modules :** Pour $Z \neq 2$, $$|Z' - 2| = \left| -\frac{4}{Z-2} - 2 \right| = \left| \frac{-4 - 2(Z-2)}{Z-2} \right| = \left| \frac{-4 - 2Z + 4}{Z-2} \right| = \left| \frac{-2Z}{Z-2} \right| = \frac{2|Z|}{|Z-2|}$$ 7. **Image de l’ensemble (D) par la transformation :** Sur (D), $|Z| = |Z-2|$, donc $$|Z' - 2| = \frac{2|Z|}{|Z-2|} = 2$$ Donc $|Z' - 2| = 2$, c’est un cercle $(\Gamma)$ de centre $2$ et de rayon $2$. **Réponse finale :** - $Z_B = 2 e^{i\pi/3}$, $Z_C = 2 e^{-i\pi/3}$. - Le quadrilatère OBAC est un losange. - L’ensemble (D) est la médiatrice du segment $[OA]$, droite $x=1$. - Les points $B$ et $C$ sont solutions de $Z = -4/(Z-2)$ et sont fixes par la transformation. - L’image du centre de gravité $G$ est $G'$ d’affixe $3 + i\sqrt{3}$. - Pour tout $Z \neq 2$, $|Z' - 2| = \frac{2|Z|}{|Z-2|}$. - L’image de (D) est le cercle $(\Gamma)$ de centre $2$ et rayon $2$.