1. **Énoncé du problème** : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation quadratique $(E_1) : z^2 - (3 - 2i) z + 5 - zi = 0$. 2. **Formule utilisée** : Pour une équation quadratique $az^2 + bz + c = 0$, les solutions sont données par la formule quadratique : $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Ici, $a=1$, $b=-(3 - 2i)$, $c=5 - zi$ (mais attention, $c$ contient $z$, il faut vérifier l'expression). 3. **Clarification** : L'équation est $z^2 - (3 - 2i) z + 5 - zi = 0$. Le terme $5 - zi$ contient $z$, ce qui rend l'équation non quadratique classique. Il faut regrouper les termes en $z$ : $$z^2 - (3 - 2i) z - zi + 5 = 0$$ $$z^2 - (3 - 2i + i) z + 5 = 0$$ $$z^2 - (3 - i) z + 5 = 0$$ 4. **Calcul du discriminant** : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-(3 - i))^2 - 4 \times 1 \times 5 = (3 - i)^2 - 20$$ Calculons $(3 - i)^2$ : $$(3 - i)^2 = 3^2 - 2 \times 3 \times i + i^2 = 9 - 6i -1 = 8 - 6i$$ Donc : $$\Delta = 8 - 6i - 20 = -12 - 6i$$ 5. **Calcul de la racine carrée du discriminant** : Soit $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-12 - 6i} = x + yi$ avec $x,y \in \mathbb{R}$. On a : $$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -12 - 6i$$ Égalant parties réelles et imaginaires : $$\begin{cases} x^2 - y^2 = -12 \\ 2xy = -6 \end{cases}$$ De la deuxième équation : $$y = \frac{-6}{2x} = \frac{-3}{x}$$ Substituons dans la première : $$x^2 - \left(\frac{-3}{x}\right)^2 = -12$$ $$x^2 - \frac{9}{x^2} = -12$$ Multiplions par $x^2$ : $$x^4 + 12 x^2 - 9 = 0$$ Posons $t = x^2$ : $$t^2 + 12 t - 9 = 0$$ Calculons le discriminant : $$\Delta_t = 12^2 - 4 \times 1 \times (-9) = 144 + 36 = 180$$ $$t = \frac{-12 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{-12 \pm 6 \sqrt{5}}{2} = -6 \pm 3 \sqrt{5}$$ On prend la valeur positive : $$t = -6 + 3 \sqrt{5}$$ Approximativement, $\sqrt{5} \approx 2.236$, donc $$t \approx -6 + 6.708 = 0.708 > 0$$ Donc : $$x = \pm \sqrt{0.708} \approx \pm 0.841$$ Calculons $y$ : $$y = \frac{-3}{x} \approx \frac{-3}{0.841} = -3.567$$ 6. **Solutions pour $\sqrt{\Delta}$** : $$\sqrt{\Delta} = 0.841 - 3.567 i \quad \text{ou} \quad -0.841 + 3.567 i$$ 7. **Calcul des racines de l'équation** : $$z = \frac{3 - i \pm (0.841 - 3.567 i)}{2}$$ Calculons les deux solutions : - Avec le plus : $$z_1 = \frac{3 - i + 0.841 - 3.567 i}{2} = \frac{3.841 - 4.567 i}{2} = 1.9205 - 2.2835 i$$ - Avec le moins : $$z_2 = \frac{3 - i - 0.841 + 3.567 i}{2} = \frac{2.159 + 2.567 i}{2} = 1.0795 + 1.2835 i$$ **Réponse finale** : $$z_1 \approx 1.92 - 2.28 i, \quad z_2 \approx 1.08 + 1.28 i$$