1. **Énoncé du problème :** Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : $$Z_1 = \left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2 + i}\right)^5, \quad Z_2 = \frac{\sqrt{2} - 1 - i}{\sqrt{2} + 1 - i}$$ 2. **Formules et règles importantes :** - Le module d'un quotient est le quotient des modules : $$|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|}$$ - L'argument d'un quotient est la différence des arguments : $$\arg\left(\frac{z}{w}\right) = \arg(z) - \arg(w)$$ - Pour une puissance : $$|z^n| = |z|^n, \quad \arg(z^n) = n \arg(z)$$ 3. **Calculs intermédiaires pour $Z_1$ :** - Calcul du module de $z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2 + i}$ : $$|z| = \frac{\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{1 + 3}}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ - Calcul de l'argument de $z$ : $$\arg(-1 + i\sqrt{3}) = \pi - \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ $$\arg(2 + i) = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$$ Donc, $$\arg(z) = \frac{2\pi}{3} - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$$ - Module et argument de $Z_1$ : $$|Z_1| = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^5 = \frac{32}{5^{5/2}}$$ $$\arg(Z_1) = 5 \left(\frac{2\pi}{3} - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\right)$$ 4. **Calculs intermédiaires pour $Z_2$ :** - Module de $Z_2$ : $$|Z_2| = \frac{\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2 + (-1)^2}}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2 + 1}}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2 + 1}}$$ Calculons numériquement : $$(\sqrt{2} - 1)^2 = (1.4142 - 1)^2 = 0.1716$$ $$\Rightarrow \text{numérateur} = \sqrt{0.1716 + 1} = \sqrt{1.1716} \approx 1.0824$$ $$(\sqrt{2} + 1)^2 = (1.4142 + 1)^2 = 5.8284$$ $$\Rightarrow \text{dénominateur} = \sqrt{5.8284 + 1} = \sqrt{6.8284} \approx 2.6135$$ Donc, $$|Z_2| \approx \frac{1.0824}{2.6135} \approx 0.4143$$ - Argument de $Z_2$ : $$\arg(\sqrt{2} - 1 - i) = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}\right)$$ $$\arg(\sqrt{2} + 1 - i) = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)$$ Donc, $$\arg(Z_2) = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}\right) + \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)$$ **Réponse finale :** $$|Z_1| = \frac{32}{5^{5/2}}, \quad \arg(Z_1) = 5 \left(\frac{2\pi}{3} - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\right)$$ $$|Z_2| \approx 0.4143, \quad \arg(Z_2) = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}\right) + \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)$$