1. **Énoncé du problème :** Écrire sous forme trigonométrique les complexes suivants et calculer l'expression $$\left(\frac{1 + \sqrt{2} + i}{1 + \sqrt{2} - i}\right)^{20}$$. 2. **Forme trigonométrique de $1 + \cos\theta + i \sin\theta$ :** On reconnaît que $\cos\theta + i \sin\theta = e^{i\theta}$, donc $$1 + \cos\theta + i \sin\theta = 1 + e^{i\theta}.$$ Cette forme ne correspond pas immédiatement à un nombre complexe trigonométrique classique, mais elle peut s'écrire comme la somme. 3. **Forme trigonométrique du numérateur $1 + \sqrt{2} + i$ :** Calculons son module: $$r = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2} + 2) + 1} = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}.$$ Calculons son argument $\phi$: $$\phi = \arctan\left(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\right).$$ Donc, $$1 + \sqrt{2} + i = r\left(\cos\phi + i \sin\phi\right).$$ 4. **Forme trigonométrique du dénominateur $1 + \sqrt{2} - i$ :** Module identique car les parties réelles et imaginaires sont conjuguées : $$r = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}.$$ Argument: $$-\phi = \arctan\left(-\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\right).$$ Donc, $$1 + \sqrt{2} - i = r\left(\cos(-\phi) + i \sin(-\phi)\right) = r\left(\cos\phi - i \sin\phi\right).$$ 5. **Calcul de la fraction complexe :** $$\frac{1 + \sqrt{2} + i}{1 + \sqrt{2} - i} = \frac{r (\cos\phi + i \sin\phi)}{r (\cos\phi - i \sin\phi)} = \frac{\cos\phi + i \sin\phi}{\cos\phi - i \sin\phi}.$$ Multiplions numérateur et dénominateur par $\cos\phi + i \sin\phi$ : $$= \frac{(\cos\phi + i \sin\phi)^2}{\cos^2\phi + \sin^2\phi} = (\cos\phi + i \sin\phi)^2 = \cos 2\phi + i \sin 2\phi.$$ 6. **Élévation à la puissance 20 :** $$\left(\frac{1 + \sqrt{2} + i}{1 + \sqrt{2} - i}\right)^{20} = (\cos 2\phi + i \sin 2\phi)^{20} = \cos 40\phi + i \sin 40\phi.$$ En résumé, - Le nombre complexe est sous forme trigonométrique $\cos 40\phi + i \sin 40\phi$ où $$\phi = \arctan\left(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\right).$$