1. **Énoncé du problème** : Nous devons déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : a) $z$ soit réel b) $z$ soit imaginaire pure. 2. **Définition de la fonction** : On a la fonction $$y = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$$ 3. **Points donnés** : - $M$ d'affixe $z$ - $A$ d'affixe $i - 1$ - $B$ d'affixe $1 - i$ 4. **Partie (a) : $z$ réel** Soit $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$. Pour que $z$ soit réel, on a $y = 0$, donc $z = x$ réel. Il faut examiner la fonction $y = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$ pour $x$ réel, $x \neq \pm 1$ (car dénominateur nul). L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ réel correspond à l'ensemble $\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pm 1 \}$. 5. **Partie (b) : $z$ imaginaire pur** Si $z$ est imaginaire pur, alors $z = i t$ avec $t \in \mathbb{R}$. Remplaçons dans la fonction $y = \frac{1 + z^2}{1 - z^2}$ : $$ z^2 = (i t)^2 = -t^2 $$ Donc, $$ y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $$ Cette expression est réelle pour tout $t \in \mathbb{R}$. Donc les points $M$ d'affixe imaginaire pure sont $\{ z = it \mid t \in \mathbb{R} \}$. 6. **Résumé** : - Pour $z$ réel, $z \in \mathbb{R}$ avec $z \neq \pm 1$. - Pour $z$ imaginaire pur, $z = i t$ avec $t \in \mathbb{R}$. **Réponse finale** : - Ensemble des points $M$ d'affixe $z$ réel : $\{ z \in \mathbb{R}, z \neq \pm 1 \}$ - Ensemble des points $M$ d'affixe $z$ imaginaire pur : $\{ z = it, t \in \mathbb{R} \}$