1. **Énoncé du problème** : Soient $a$, $b$, et $c$ trois nombres complexes tels que $|a| = |b| = |c| = 1$ et $a + b + c = 0$. Il faut démontrer que $a^3 = b^3 = c^3$. 2. **Analyse des conditions** : Les modules de $a$, $b$, et $c$ sont tous égaux à 1, donc ces nombres sont sur le cercle unité du plan complexe. 3. **Utilisation de la condition $a + b + c = 0$** : Cette égalité implique que les vecteurs complexes $a$, $b$, et $c$ forment un triangle fermé dans le plan complexe. 4. **Interprétation géométrique** : Trois points sur le cercle unité dont la somme est nulle correspondent aux racines cubiques de l'unité, à un facteur multiplicatif près. 5. **Propriété des racines cubiques de l'unité** : Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $\\omega = e^{2i\pi/3}$, et $\\omega^2 = e^{4i\pi/3}$, et elles vérifient $1 + \\omega + \\omega^2 = 0$. 6. **Conclusion** : Par unicité, $a$, $b$, et $c$ sont de la forme $a = u$, $b = u \\omega$, $c = u \\omega^2$ avec $|u|=1$. Donc, $$a^3 = u^3, \quad b^3 = (u \\omega)^3 = u^3 \\omega^3 = u^3, \quad c^3 = (u \\omega^2)^3 = u^3 \\omega^{6} = u^3,$$ car $\\omega^3 = 1$. Ainsi, $a^3 = b^3 = c^3$. **Réponse finale** : $\boxed{a^3 = b^3 = c^3}$.