1. مسئله: باید مقدار $$\cosh(2 + \frac{\pi i}{4})$$ را به صورت $$a + ib$$ که $$a$$ و $$b$$ اعداد حقیقی هستند، بیان کنیم. 2. فرمول مورد استفاده: تابع هذلولی کسینوس برای عدد مختلط $$z = x + iy$$ به صورت زیر است: $$\cosh(z) = \cosh(x + iy) = \cosh(x)\cos(y) + i\sinh(x)\sin(y)$$ که در آن $$x$$ و $$y$$ اعداد حقیقی هستند. 3. در اینجا $$x = 2$$ و $$y = \frac{\pi}{4}$$. 4. ابتدا مقادیر $$\cosh(2)$$، $$\sinh(2)$$، $$\cos(\frac{\pi}{4})$$ و $$\sin(\frac{\pi}{4})$$ را محاسبه می‌کنیم: - $$\cosh(2) = \frac{e^2 + e^{-2}}{2} \approx 3.7622$$ - $$\sinh(2) = \frac{e^2 - e^{-2}}{2} \approx 3.6269$$ - $$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$$ - $$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$$ 5. حالا جایگذاری می‌کنیم: $$\cosh(2 + \frac{\pi i}{4}) = 3.7622 \times 0.7071 + i \times 3.6269 \times 0.7071$$ 6. محاسبه نهایی: - قسمت حقیقی: $$3.7622 \times 0.7071 \approx 2.6593$$ - قسمت موهومی: $$3.6269 \times 0.7071 \approx 2.5650$$ 7. بنابراین: $$\cosh(2 + \frac{\pi i}{4}) \approx 2.6593 + 2.5650 i$$ نتیجه نهایی به صورت $$a + ib$$ است که $$a \approx 2.6593$$ و $$b \approx 2.5650$$.