1. Énonçons le problème : On a trois nombres complexes $a$, $b$, et $c$ tels que $|a|=|b|=|c|$ et $a+b+c=0$. 2. Puisque $a+b+c=0$, cela signifie que la somme des trois vecteurs complexes est nulle. 3. Comme les modules sont égaux, on peut poser $|a|=|b|=|c|=r$. 4. La condition $a+b+c=0$ avec $|a|=|b|=|c|$ implique que les trois points $a$, $b$, $c$ forment un triangle équilatéral dans le plan complexe. 5. En effet, si on place $a$ sur le cercle de rayon $r$ centré à l'origine, alors $b$ et $c$ sont les autres racines cubiques de l'unité multipliées par $r$. 6. On peut donc écrire $$a = r e^{i\theta}, \quad b = r e^{i(\theta + \frac{2\pi}{3})}, \quad c = r e^{i(\theta + \frac{4\pi}{3})}$$ pour un certain angle $\theta$. 7. Cette configuration satisfait bien $a+b+c=0$ car la somme des racines cubiques de l'unité est nulle. Réponse finale : Les nombres complexes $a$, $b$, et $c$ sont de même module et forment un triangle équilatéral dans le plan complexe, ce qui implique qu'ils sont donnés par $$a = r e^{i\theta}, \quad b = r e^{i(\theta + \frac{2\pi}{3})}, \quad c = r e^{i(\theta + \frac{4\pi}{3})}$$ avec $r=|a|=|b|=|c|$ et un angle $\theta$ quelconque.