1. **Énoncé du problème :** On considère les points A(1), B(3), M(z) et M'(z') dans le plan complexe avec l'application $$z' = \frac{2z - 4}{z - 1}$$ où $$z \neq 1$$. 2. **Calcul de la forme exponentielle de $$z'$$ pour $$z = 1 + i$$ :** On remplace $$z$$ par $$1+i$$ : $$z' = \frac{2(1+i) - 4}{1+i - 1} = \frac{2 + 2i - 4}{i} = \frac{-2 + 2i}{i}$$ Multipliant numérateur et dénominateur par $$-i$$ : $$z' = \frac{(-2 + 2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{2i + 2}{1} = 2 + 2i$$ La forme exponentielle de $$2+2i$$ est : $$|z'| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ $$\arg(z') = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$$ Donc : $$z' = 2\sqrt{2} e^{i\pi/4}$$ 3. **Calcul des parties réelles $$x'$$ et imaginaires $$y'$$ de $$z'$$ en fonction de $$x,y$$ avec $$z = x + iy$$ et $$z' = x' + iy'$$ : a) Écrivons $$z' = \frac{2z - 4}{z - 1} = \frac{2(x+iy) - 4}{(x-1) + iy} = \frac{(2x - 4) + 2iy}{(x - 1) + iy}$$ Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$z' = \frac{((2x - 4) + 2iy)((x - 1) - iy)}{((x - 1) + iy)((x - 1) - iy)} = \frac{(2x-4)(x-1) - 2iy(x-1) + 2iy(x-1) - 2i^2 y^2}{(x-1)^2 + y^2}$$ Simplifier en notant que $$i^2 = -1$$ et que termes imaginaires s'annulent : $$\text{Numérateur} = (2x-4)(x-1) + 2y^2$$ Pour la partie imaginaire, calculons en développant entièrement (en détail) : $$((2x - 4) + 2iy)((x - 1) - iy) = (2x-4)(x-1) - (2x-4)iy + 2iy(x-1) - 2iy imes iy$$ Simplifier le terme imaginaire : $$- (2x-4)iy + 2iy(x-1) = i y (-2x + 4 + 2x - 2) = 2iy$$ Termes réels : $$(2x-4)(x-1) - 2i^2y^2 = (2x-4)(x-1) + 2 y^2$$ Donc, - Partie réelle : $$x' = \frac{(2x -4)(x-1) + 2 y^2}{(x-1)^2 + y^2} = \frac{2x^2 - 2x - 4x + 4 + 2 y^2}{(x-1)^2 + y^2} = \frac{2x^2 + 2 y^2 - 6x + 4}{(x-1)^2 + y^2}$$ - Partie imaginaire : $$y' = \frac{2 y}{(x-1)^2 + y^2}$$ 4. **Détermination du cercle sur lequel se déplace M si M' se déplace sur la droite $(D): y = x -1$ :** Soit $$y' = x' - 1$$ d'après l'équation donnée. Substituer $$x', y'$$ obtenus : $$\frac{2 y}{(x-1)^2 + y^2} = \frac{2x^2 + 2 y^2 - 6x + 4}{(x-1)^2 + y^2} - 1$$ Multiplions les deux côtés par $$ (x-1)^2 + y^2 $$: $$2 y = 2 x^2 + 2 y^2 - 6 x + 4 - \left((x-1)^2 + y^2\right)$$ Développons le terme en parenthèses : $$(x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$$ Donc : $$2 y = 2 x^2 + 2 y^2 - 6 x + 4 - x^2 + 2x - 1 - y^2$$ Simplifions : $$2 y = (2 x^2 - x^2) + (2 y^2 - y^2) + (-6 x + 2 x) + (4 - 1) = x^2 + y^2 - 4 x + 3$$ Réarrangeons : $$x^2 + y^2 - 4 x + 3 - 2 y = 0$$ Complétons le carré pour $$x$$ et $$y$$ : $$x^2 - 4 x + y^2 - 2 y = -3$$ $$x^2 -4 x +4 + y^2 - 2 y +1 = -3 + 4 +1$$ $$ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 2$$ Donc, le point M se déplace sur un cercle de centre $$C(2,1)$$ et de rayon $$r = \sqrt{2}$$. 5. **Conclusion :** - On a exprimé $$z'$$ sous forme exponentielle pour $$z=1+i$$. - On a déterminé $$x'$$ et $$y'$$ en fonction de $$x$$ et $$y$$. - On a montré que si $$M'$$ se déplace sur la droite $$y' = x' - 1$$, alors $$M$$ se déplace sur un cercle de centre $$(2,1)$$ et de rayon $$\sqrt{2}$$. **Réponse finale:** $$z' = 2 \sqrt{2} e^{i \pi /4}$$ $$x' = \frac{2 x^2 + 2 y^2 - 6 x + 4}{(x-1)^2 + y^2}$$ $$y' = \frac{2 y}{(x-1)^2 + y^2}$$ $$\text{Si } y' = x' -1, \quad M \in \mathscr{C} \text{ cercle } : (x-2)^2 + (y-1)^2 = 2$$