1. **பிரச்சினையை விளக்குதல்:** P1, P2 என்ற புள்ளிகள் z1, z2 என்ற சிக்கலெண்களால் ஆகணவரிப்பத்தில் குறிக்கப்படுகின்றன. z1 = \frac{1+i}{1-i}, \quad z2 = \frac{\sqrt{2}}{1-i} z1 + z2 என்ற சிக்கலெண் ஆகணவரிப்பத்தில் குறிக்கும் புள்ளியின் தானத்தை (argument) காண வேண்டும். 2. **z1 மற்றும் z2 ஐ சீரமைத்தல்:** z1 = \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{(1)^2 - (-i)^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i -1}{2} = \frac{2i}{2} = i z2 = \frac{\sqrt{2}}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{\sqrt{2}(1+i)}{1 - (-1)} = \frac{\sqrt{2}(1+i)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} 3. **z1 + z2 ஐ கணக்கிடுதல்:** z1 + z2 = i + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) 4. **z1 + z2 இன் தானத்தை (argument) காணுதல்:** தானம் $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{imaginary part}}{\text{real part}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ எதை எளிமைப்படுத்துவோம்: $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{2}} + 1\right) = \tan^{-1}\left(\sqrt{2} + 1\right) $$ 5. **tan(\pi/8) = \sqrt{2} - 1 என்பதை பயன்படுத்தி:** $$ \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1 $$ $$ \tan\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1 $$ அதனால், $$ \theta = \tan^{-1}(\sqrt{2} + 1) = \frac{3\pi}{8} $$ **முடிவு:** z1 + z2 இன் தானம் $\boxed{\frac{3\pi}{8}}$ ஆகும்.