1. مسئله: ساده کردن عبارت $$z = \frac{(1 + i\sqrt{3})^4 (1 - i)^5}{2\sqrt{3} (1 - i\sqrt{3})^3 (1 + i)^4}$$ 2. تبدیل اعداد مختلط به فرم مثلثاتی: $$1 + i\sqrt{3} = 2\operatorname{cis}\frac{\pi}{3}, \quad 1 - i = \sqrt{2}\operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right),$$ $$1 - i\sqrt{3} = 2\operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad 1 + i = \sqrt{2}\operatorname{cis}\frac{\pi}{4}$$ 3. جایگذاری و استفاده از قوانین توان: $$z = \frac{(2\operatorname{cis}\frac{\pi}{3})^4 (\sqrt{2}\operatorname{cis}(-\frac{\pi}{4}))^5}{2\sqrt{3} (2\operatorname{cis}(-\frac{\pi}{3}))^3 (\sqrt{2}\operatorname{cis}\frac{\pi}{4})^4}$$ 4. ساده‌سازی توان‌ها: $$= \frac{2^4 \operatorname{cis}\frac{4\pi}{3} \times 2^{5/2} \operatorname{cis}(-\frac{5\pi}{4})}{2\sqrt{3} \times 2^3 \operatorname{cis}(-\pi) \times 2^2 \operatorname{cis}\pi}$$ 5. جمع توان‌ها و ضرب اعداد: $$= \frac{2^{4 + 2.5} \operatorname{cis}(\frac{4\pi}{3} - \frac{5\pi}{4})}{2^{1 + 3 + 2} \sqrt{3} \operatorname{cis}(-\pi + \pi)} = \frac{2^{6.5} \operatorname{cis}(\frac{16\pi}{12} - \frac{15\pi}{12})}{2^{6} \sqrt{3} \operatorname{cis}(0)}$$ 6. محاسبه توان و زاویه: $$= \frac{2^{6.5}}{2^6 \sqrt{3}} \operatorname{cis}\frac{\pi}{12} = \frac{2^{0.5}}{\sqrt{3}} \operatorname{cis}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \operatorname{cis}\frac{\pi}{12}$$ 7. پاسخ نهایی: $$z = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right)$$ --- 2) ریشه‌های ششم معادله $$z^6 = -1$$ 1. تبدیل $$-1$$ به فرم مثلثاتی: $$-1 = \operatorname{cis}\pi$$ 2. ریشه‌های ششم: $$z_k = \operatorname{cis}\left(\frac{\pi + 2k\pi}{6}\right), \quad k=0,1,2,3,4,5$$ 3. ریشه‌ها: $$z_0 = \operatorname{cis}\frac{\pi}{6}, z_1 = \operatorname{cis}\frac{\pi}{2}, z_2 = \operatorname{cis}\frac{5\pi}{6}, z_3 = \operatorname{cis}\frac{7\pi}{6}, z_4 = \operatorname{cis}\frac{3\pi}{2}, z_5 = \operatorname{cis}\frac{11\pi}{6}$$ --- 3) حل معادله $$0 = 4 + z^4 - 2z^7$$ 1. بازنویسی: $$2z^7 = 4 + z^4$$ 2. تقسیم بر $$z^4$$ (فرض $$z \neq 0$$): $$2z^3 = 4z^{-4} + 1$$ 3. معادله پیچیده است و نیاز به روش‌های عددی یا فرضیات دارد. در اینجا پاسخ دقیق داده نمی‌شود. --- 4) یافتن $$a$$ و $$b$$ از معادله $$0 = b + az^5 + z^9$$ با $$z = 1 - i$$ 1. جایگذاری $$z$$: $$0 = b + a(1 - i)^5 + (1 - i)^9$$ 2. محاسبه $$ (1 - i)^5 $$ و $$ (1 - i)^9 $$ با تبدیل به فرم مثلثاتی: $$1 - i = \sqrt{2} \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$ 3. بنابراین: $$(1 - i)^5 = (\sqrt{2})^5 \operatorname{cis}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = 4\sqrt{2} \operatorname{cis}\left(-\frac{5\pi}{4}\right)$$ $$(1 - i)^9 = (\sqrt{2})^9 \operatorname{cis}\left(-\frac{9\pi}{4}\right) = 32\sqrt{2} \operatorname{cis}\left(-\frac{9\pi}{4}\right)$$ 4. با توجه به زاویه‌ها و مقدارها، معادله را به دو معادله حقیقی و موهومی تبدیل و $$a$$ و $$b$$ را بیابید. --- 5) اثبات: $$r_1 \operatorname{cis}\alpha \cdot r_2 \operatorname{cis}\beta = r_1 r_2 \operatorname{cis}(\alpha + \beta)$$ 1. تعریف: $$r \operatorname{cis}\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$ 2. ضرب دو عدد مختلط: $$r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha) \times r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1 r_2 [(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)]$$ 3. استفاده از فرمول جمع زاویه: $$= r_1 r_2 (\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)) = r_1 r_2 \operatorname{cis}(\alpha + \beta)$$ --- 6) مکان نقاط $$|1 \leq z + 2 - 1|$$ 1. ساده‌سازی: $$|z + 1| \geq 1$$ 2. این ناحیه نقاطی است که فاصله‌شان از $$-1$$ حداقل 1 باشد. --- 7) اثبات: با فرض $$z + \frac{1}{z} = 2\cos\theta$$ ثابت کنید: $$z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos n\theta$$ 1. فرض کنید $$z = e^{i\theta}$$ یا $$z = \operatorname{cis}\theta$$ 2. بنابراین: $$z + \frac{1}{z} = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta$$ 3. به همین ترتیب: $$z^n + \frac{1}{z^n} = e^{i n \theta} + e^{-i n \theta} = 2\cos n\theta$$ --- 8) حل معادله: $$z^7 = (-1 + i\sqrt{3})^3$$ 1. تبدیل سمت راست به فرم مثلثاتی: $$-1 + i\sqrt{3} = 2 \operatorname{cis}\frac{2\pi}{3}$$ 2. بنابراین: $$(-1 + i\sqrt{3})^3 = 2^3 \operatorname{cis} 2\pi = 8 \operatorname{cis} 0 = 8$$ 3. معادله: $$z^7 = 8$$ 4. ریشه‌ها: $$z_k = 8^{1/7} \operatorname{cis}\frac{2k\pi}{7}, \quad k=0,1,...,6$$ --- 9) اثبات: $$\left(\frac{1 + i \tan\theta}{1 - i \tan\theta}\right)^m = \frac{1 + i \tan(m\theta)}{1 - i \tan(m\theta)}$$ 1. تبدیل کسر به فرم مثلثاتی: $$\frac{1 + i \tan\theta}{1 - i \tan\theta} = \operatorname{cis} 2\theta$$ 2. بنابراین: $$\left(\operatorname{cis} 2\theta\right)^m = \operatorname{cis} 2m\theta = \frac{1 + i \tan(m\theta)}{1 - i \tan(m\theta)}$$ --- 10) یافتن ریشه‌های معادله: $$0 = 10 + 9z - 9z^4 + 9z^3 - 3z^7 + z^5$$ با $$z = 1 + 2i$$ ریشه است. 1. با تقسیم چندجمله‌ای یا روش‌های عددی سایر ریشه‌ها را بیابید. --- 11) ریشه‌های دوم معادله: $$z^2 = -i$$ 1. تبدیل $$-i$$ به فرم مثلثاتی: $$-i = \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$ 2. ریشه‌ها: $$z_k = \operatorname{cis}\left(\frac{-\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2}\right) = \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4} + k\pi\right), k=0,1$$ 3. ریشه‌ها: $$z_0 = \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right), \quad z_1 = \operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$$