1. **প্রমাণ কর যে, অসমূদ্র সংখ্যা:** i) $\sqrt{2}$ অসমূদ্র কারণ এটি একটি বাস্তব সংখ্যা যা কোনো দুই পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না। এটি প্রমাণ করার জন্য ধরে নেই $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ যেখানে $p,q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$ এবং ভগ্নাংশটি সরল। তাহলে, $$2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$$ এখানে $p^2$ জোড় সংখ্যা, তাই $p$ জোড়। $p=2k$ ধরলে, $$4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$$ অর্থাৎ $q$ ও জোড়। কিন্তু $p,q$ সরল ভগ্নাংশ হওয়ার কারণে উভয়ই জোড় হতে পারে না। সুতরাং $\sqrt{2}$ অসমূদ্র। ii) $\sqrt{5}$ এর জন্য একই যুক্তি প্রযোজ্য। ধরে নেই $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ সরল ভগ্নাংশ। তাহলে, $$5q^2 = p^2$$ এখানে $p^2$ ৫ দ্বারা বিভাজ্য, তাই $p$ ৫ দ্বারা বিভাজ্য। $p=5k$ ধরলে, $$5q^2 = 25k^2 \Rightarrow q^2 = 5k^2$$ অর্থাৎ $q$ ও ৫ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু $p,q$ সরল ভগ্নাংশ হওয়ার কারণে উভয়ই ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে না। সুতরাং $\sqrt{5}$ অসমূদ্র। iii) $\sqrt{3}$ এর জন্য একই প্রমাণ প্রযোজ্য। 2. **সরল কর:** i) $\frac{3+2i}{5-3i}$ বিভাজকের সংযোজক দ্বারা গুণ: $$\frac{3+2i}{5-3i} \times \frac{5+3i}{5+3i} = \frac{(3+2i)(5+3i)}{5^2 + 3^2} = \frac{15 + 9i + 10i + 6i^2}{25 + 9} = \frac{15 + 19i - 6}{34} = \frac{9 + 19i}{34} = \frac{9}{34} + \frac{19}{34}i$$ ii) $\frac{\sqrt{5} - i\sqrt{3}}{3\sqrt{2} - i\sqrt{3}}$ সংযোজক দ্বারা গুণ: $$\frac{\sqrt{5} - i\sqrt{3}}{3\sqrt{2} - i\sqrt{3}} \times \frac{3\sqrt{2} + i\sqrt{3}}{3\sqrt{2} + i\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - i\sqrt{3})(3\sqrt{2} + i\sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2}$$ উপরে গুণফল: $$= \frac{3\sqrt{10} + i\sqrt{15} - 3i\sqrt{6} - i^2 3}{18 + 3} = \frac{3\sqrt{10} + i(\sqrt{15} - 3\sqrt{6}) + 3}{21} = \frac{3 + 3\sqrt{10}}{21} + i \frac{\sqrt{15} - 3\sqrt{6}}{21} = \frac{1 + \sqrt{10}}{7} + i \frac{\sqrt{15} - 3\sqrt{6}}{21}$$ iv) $(3 + 4i)(2 + i)(4 + bi)$ রাশিটিকে $A + iB$ আকারে প্রকাশ কর: প্রথমে প্রথম দুইটি গুণ: $$(3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i$$ এখন তৃতীয়টির সাথে গুণ: $$(2 + 11i)(4 + bi) = 8 + 2bi + 44i + 11bi^2 = 8 + (2b + 44)i + 11b(-1) = (8 - 11b) + i(2b + 44)$$ অতএব, $$A = 8 - 11b, \quad B = 2b + 44$$ 3. **$A + iB$ আকারে প্রকাশ কর:** i) $\frac{9 - 7i}{2 - 3i}$ সংযোজক দ্বারা গুণ: $$\frac{9 - 7i}{2 - 3i} \times \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{(9 - 7i)(2 + 3i)}{4 + 9} = \frac{18 + 27i - 14i - 21i^2}{13} = \frac{18 + 13i + 21}{13} = \frac{39 + 13i}{13} = 3 + i$$ ii) $\frac{3 + 2i}{2 + 3i} + \frac{1 + 5i}{1 - 2i}$ প্রথম ভগ্নাংশ: $$\frac{3 + 2i}{2 + 3i} \times \frac{2 - 3i}{2 - 3i} = \frac{(3 + 2i)(2 - 3i)}{4 + 9} = \frac{6 - 9i + 4i - 6i^2}{13} = \frac{6 - 5i + 6}{13} = \frac{12 - 5i}{13} = \frac{12}{13} - \frac{5}{13}i$$ দ্বিতীয় ভগ্নাংশ: $$\frac{1 + 5i}{1 - 2i} \times \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{(1 + 5i)(1 + 2i)}{1 + 4} = \frac{1 + 2i + 5i + 10i^2}{5} = \frac{1 + 7i - 10}{5} = \frac{-9 + 7i}{5} = -\frac{9}{5} + \frac{7}{5}i$$ যোগফল: $$\left(\frac{12}{13} - \frac{5}{13}i\right) + \left(-\frac{9}{5} + \frac{7}{5}i\right) = \left(\frac{12}{13} - \frac{9}{5}\right) + i\left(-\frac{5}{13} + \frac{7}{5}\right)$$ সাধারণ কর: $$= \frac{60 - 117}{65} + i \frac{-25 + 91}{65} = -\frac{57}{65} + i \frac{66}{65}$$ iii) $\frac{3 + 2i}{2 + 5i}$ সংযোজক দ্বারা গুণ: $$\frac{3 + 2i}{2 + 5i} \times \frac{2 - 5i}{2 - 5i} = \frac{(3 + 2i)(2 - 5i)}{4 + 25} = \frac{6 - 15i + 4i - 10i^2}{29} = \frac{6 - 11i + 10}{29} = \frac{16 - 11i}{29} = \frac{16}{29} - \frac{11}{29}i$$ 4. **বর্গমূল নির্ণয় কর:** i) $7 - 30\sqrt{-2}$ $\sqrt{-2} = i\sqrt{2}$ তাই $$7 - 30i\sqrt{2}$$ ধরি $\sqrt{7 - 30i\sqrt{2}} = x + iy$ তাহলে, $$(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = 7 - 30i\sqrt{2}$$ তুলনা করলে, $$x^2 - y^2 = 7$$ $$2xy = -30\sqrt{2} \Rightarrow xy = -15\sqrt{2}$$ $y = \frac{-15\sqrt{2}}{x}$ বসিয়ে, $$x^2 - \left(\frac{-15\sqrt{2}}{x}\right)^2 = 7 \Rightarrow x^2 - \frac{450}{x^2} = 7$$ $$x^4 - 7x^2 - 450 = 0$$ ধরি $z = x^2$, $$z^2 - 7z - 450 = 0$$ $z = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 1800}}{2} = \frac{7 \pm 43}{2}$ $z_1 = 25$, $z_2 = -18$ (অস্বীকার) তাহলে $x = \pm 5$ $y = \frac{-15\sqrt{2}}{5} = -3\sqrt{2}$ অতএব, $$\sqrt{7 - 30i\sqrt{2}} = 5 - 3i\sqrt{2}$$ ii) $6 + 8\sqrt{-1} = 6 + 8i$ ধরি $\sqrt{6 + 8i} = x + iy$ তাহলে, $$(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = 6 + 8i$$ তুলনা করলে, $$x^2 - y^2 = 6$$ $$2xy = 8 \Rightarrow xy = 4$$ $y = \frac{4}{x}$ বসিয়ে, $$x^2 - \left(\frac{4}{x}\right)^2 = 6 \Rightarrow x^4 - 6x^2 - 16 = 0$$ ধরি $z = x^2$, $$z^2 - 6z - 16 = 0$$ $z = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$ $z_1 = 8$, $z_2 = -2$ (অস্বীকার) তাহলে $x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$ $y = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ অতএব, $$\sqrt{6 + 8i} = 2\sqrt{2} + i\sqrt{2}$$ v) $-7 + 24i$ ধরি $\sqrt{-7 + 24i} = x + iy$ তাহলে, $$(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = -7 + 24i$$ তুলনা করলে, $$x^2 - y^2 = -7$$ $$2xy = 24 \Rightarrow xy = 12$$ $y = \frac{12}{x}$ বসিয়ে, $$x^2 - \left(\frac{12}{x}\right)^2 = -7 \Rightarrow x^4 + 7x^2 - 144 = 0$$ ধরি $z = x^2$, $$z^2 + 7z - 144 = 0$$ $z = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 576}}{2} = \frac{-7 \pm 25}{2}$ $z_1 = 9$, $z_2 = -16$ (অস্বীকার) তাহলে $x = \pm 3$ $y = \frac{12}{3} = 4$ অতএব, $$\sqrt{-7 + 24i} = 3 + 4i$$ 6. **$60$ এর ঘনমূল নির্ণয় কর:** $\sqrt[3]{60}$ সরল রূপে প্রকাশ করা যায় না কারণ 60 এর মৌলিক গুণনীয়ক হলো $2^2 \times 3 \times 5$ এবং কোন মৌলিক গুণনীয়কের ঘনমূল নেই। তাই এটি আনুমানিক মানে প্রকাশ করা হয়: $$\sqrt[3]{60} \approx 3.914$$ **সারাংশ:** $i)$ $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ অসমূদ্র সংখ্যা। $ii)$ সরল রূপ: - $\frac{3+2i}{5-3i} = \frac{9}{34} + \frac{19}{34}i$ - $\frac{\sqrt{5} - i\sqrt{3}}{3\sqrt{2} - i\sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{10}}{7} + i \frac{\sqrt{15} - 3\sqrt{6}}{21}$ - $(3 + 4i)(2 + i)(4 + bi) = (8 - 11b) + i(2b + 44)$ $iii)$ $A + iB$ আকারে: - $\frac{9 - 7i}{2 - 3i} = 3 + i$ - $\frac{3 + 2i}{2 + 3i} + \frac{1 + 5i}{1 - 2i} = -\frac{57}{65} + i \frac{66}{65}$ - $\frac{3 + 2i}{2 + 5i} = \frac{16}{29} - \frac{11}{29}i$ $iv)$ বর্গমূল: - $\sqrt{7 - 30i\sqrt{2}} = 5 - 3i\sqrt{2}$ - $\sqrt{6 + 8i} = 2\sqrt{2} + i\sqrt{2}$ - $\sqrt{-7 + 24i} = 3 + 4i$ $6)$ $\sqrt[3]{60} \approx 3.914$