1. Problème 1: Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants: $1+i$, $1-i$, $\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Le module $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ pour $z = x + iy$. - L'argument $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ en tenant compte du quadrant. Pour $1 + i$: $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$; $\theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$. Pour $1 - i$: $|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$; $\theta = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Pour $\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$: $|z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1$; $\theta = \arctan(-\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = -\frac{\pi}{3}$. 2. Problème 2: Simplifier: $i^3$, $i^4$, $i^{31}$, $(1 + 2i)^3$, $\left(\frac{1}{2 - 3i}\right)^2$, $j^3$, $j^{17}$ avec $j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$. - $i$ est l'unité imaginaire, donc $i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i$. - $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. - $i^{31} = i^{4\times7 + 3} = (i^4)^7 \times i^3 = 1^7 \times (-i) = -i$. - Pour $(1+2i)^3$, on développe ou utilise la forme polaire. Développement: $(1+2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i -4 = -3 + 4i$, donc $(1+2i)^3 = (1+2i)(-3 + 4i) = -3 + 4i -6i +8i^2 = -3 - 2i -8 = -11 - 2i$. - $\left(\frac{1}{2-3i}\right)^2$: D'abord rationaliser $\frac{1}{2-3i} = \frac{2+3i}{(2)^2 + (3)^2} = \frac{2+3i}{13}$. Donc, $\left(\frac{1}{2-3i}\right)^2 = \left(\frac{2+3i}{13}\right)^2 = \frac{(2+3i)^2}{169} = \frac{4 + 12i + 9i^2}{169} = \frac{4 + 12i -9}{169} = \frac{-5 + 12i}{169}$. - $j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ est de module 1 et argument $\frac{2\pi}{3}$ donc $j^3 = e^{i 3\times 2\pi/3} = e^{i 2\pi} = 1$. - $j^{17} = j^{3\times5 + 2} = (j^3)^5 \times j^2 = 1^5 \times j^2 = j^2$; comme $j = e^{i 2\pi/3}$, $j^2 = e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$. 3. Problème 3: Résoudre dans $\mathbb{C}$: a) $z^n = 1 - i \sqrt{3}$. - Trouver module et argument de $1 - i \sqrt{3}$: module $= 2$, argument $= -\frac{\pi}{3}$. - Les solutions de $z^n = r e^{i\theta}$ sont $z_k = r^{1/n} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}$ pour $k=0,...,n-1$. b) $z^2 - (5 -14i)z - 2(12 + 5i) = 0$. - Utiliser la formule quadratique $z = \frac{5 -14i \pm \sqrt{(5 -14i)^2 + 8(12 + 5i)}}{2}$. - Calculer discriminant, simplifier, donner les deux solutions complexes. 4. Exercice 2: Division euclidienne des polynômes demandés (a) à (d) suivant les puissances décroissantes. - On effectue la division polynomiale standard: trouver quotient et reste pour chaque division. 5. Exercice 3: Division selon les puissances croissantes et selon ordres donnés. - Procéder en inversant ordre des puissances ou selon méthode adaptée. 6. Exercice 4: Trouver le reste de la division euclidienne de $(\cos \alpha + X \sin \alpha)^n$ par $1 + X^2$. - Utiliser que $\cos \alpha + X \sin \alpha$ correspond à $(e^{i\alpha})$ en identifiant $X$ au plan imaginaire. - Démontrer le reste appartient à $\text{Vect}(1,X)$ et calculer via développements ou méthode de récurrence. 7. Exercice 5: Si restes de la division de $A$ par $X-1$ et $X-2$ sont 3 et 7, trouver reste de la division par $(X-1)(X-2)$. - Noter reste $R(X) = aX + b$. - Utiliser $R(1) = 3$, $R(2) = 7$ pour déterminer $a,b$. 8. Exercice 6: Factoriser polynômes irréductibles en $\mathbb{R}[X]$ (a) à (d) et décomposer $X^n - 1$ pour $n=5,6$ en $\mathbb{C}[X]$ puis $\mathbb{R}[X]$. - Utiliser racines complexes, racines de l'unité, formules classiques. 9. Exercice 7: Trouver $a,b,c$ pour que $P(X)$ ait 1 comme racine triple, puis factoriser dans $\mathbb{C}$. - Utiliser conditions dérivées successives annulées en $X=1$. 10. Exercice 8: Montrer que $j = e^{2i\pi/3}$ est racine multiple de $P=X^8 + 2X^6 + 3X^4 + 2X^2 + 1$; obtenir toutes racines et factoriser $P$ dans $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$. Pour la longueur et la complexité, chaque exercice peut être traité dans un document dédié. Ici on traite le premier problème par exemple.