1. **Énoncé du problème :** Trouver les positions exactes des trois lampadaires A, B, C, solutions de l'équation complexe $$z^3 - 2iz^2 + 4(1+i)z + 16 + 16i = 0$$ avec A sur l'axe réel, B sur l'axe imaginaire, et C le troisième point. 2. **Trouver les racines de l'équation (E) :** L'équation est un polynôme de degré 3 en $z$ complexe : $$z^3 - 2iz^2 + 4(1+i)z + 16 + 16i = 0$$ 3. **Utiliser la condition sur A et B :** - $A$ est sur l'axe réel donc $z_A = x$ réel. - $B$ est sur l'axe imaginaire donc $z_B = iy$ avec $y$ réel. 4. **Trouver $z_A$ :** Posons $z = x$ réel dans (E) : $$x^3 - 2i x^2 + 4(1+i) x + 16 + 16i = 0$$ Séparons parties réelles et imaginaires : - Partie réelle : $$x^3 + 4x + 16 = 0$$ - Partie imaginaire : $$-2x^2 + 4x + 16 = 0$$ 5. **Résoudre la partie imaginaire :** $$-2x^2 + 4x + 16 = 0 \\ 2x^2 - 4x - 16 = 0 \\ x^2 - 2x - 8 = 0$$ Solutions : $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = 1 \pm 3$$ Donc $x = 4$ ou $x = -2$. 6. **Tester ces valeurs dans la partie réelle :** - Pour $x=4$ : $$4^3 + 4 \times 4 + 16 = 64 + 16 + 16 = 96 \neq 0$$ - Pour $x=-2$ : $$(-2)^3 + 4 \times (-2) + 16 = -8 - 8 + 16 = 0$$ Donc $z_A = -2$. 7. **Trouver $z_B$ :** Posons $z = iy$ avec $y$ réel dans (E) : $$ (iy)^3 - 2i (iy)^2 + 4(1+i)(iy) + 16 + 16i = 0$$ Calculons chaque terme : - $(iy)^3 = i^3 y^3 = -i y^3$ - $(iy)^2 = i^2 y^2 = - y^2$ Donc : $$-i y^3 - 2i (- y^2) + 4(1+i) i y + 16 + 16i = 0$$ Simplifions : $$-i y^3 + 2i y^2 + 4 i y + 4 i^2 y + 16 + 16i = 0$$ Or $i^2 = -1$, donc : $$-i y^3 + 2i y^2 + 4 i y - 4 y + 16 + 16i = 0$$ Séparons parties réelles et imaginaires : - Partie réelle : $$-4 y + 16 = 0 \\ -4 y = -16 \\ y = 4$$ - Partie imaginaire : $$- y^3 + 2 y^2 + 4 y + 16 = 0$$ Substituons $y=4$ : $$-64 + 32 + 16 + 16 = 0$$ $$0 = 0$$ Donc $z_B = 4i$. 8. **Trouver $z_C$ :** Sachant que $z_A = -2$, $z_B = 4i$, et que $z_A, z_B, z_C$ sont racines de (E), on peut factoriser : $$(z - z_A)(z - z_B)(z - z_C) = 0$$ Développons : $$(z + 2)(z - 4i)(z - z_C) = 0$$ Le polynôme donné est : $$z^3 - 2i z^2 + 4(1+i) z + 16 + 16i$$ Divisons le polynôme par $(z + 2)(z - 4i)$ pour trouver $z_C$. 9. **Calcul du produit $(z + 2)(z - 4i)$ :** $$z^2 - 4i z + 2 z - 8i = z^2 + (2 - 4i) z - 8i$$ 10. **Division polynomiale :** Posons quotient $Q(z) = z + c$ avec $c$ complexe. Alors : $$(z^2 + (2 - 4i) z - 8i)(z + c) = z^3 - 2i z^2 + 4(1+i) z + 16 + 16i$$ Développons : $$z^3 + c z^2 + (2 - 4i) z^2 + c (2 - 4i) z - 8i z - 8i c = z^3 - 2i z^2 + 4(1+i) z + 16 + 16i$$ Regroupons : $$z^3 + (c + 2 - 4i) z^2 + (c (2 - 4i) - 8i) z - 8i c = z^3 - 2i z^2 + 4(1+i) z + 16 + 16i$$ 11. **Identification des coefficients :** - Coefficient de $z^2$ : $$c + 2 - 4i = -2i \\ c = -2i - 2 + 4i = -2 + 2i$$ - Coefficient de $z$ : $$c (2 - 4i) - 8i = 4(1+i) = 4 + 4i$$ Calculons $c (2 - 4i)$ avec $c = -2 + 2i$ : $$(-2 + 2i)(2 - 4i) = -4 + 8i + 4i - 8 i^2 = -4 + 12 i + 8 = 4 + 12 i$$ Donc : $$4 + 12 i - 8 i = 4 + 4 i$$ Ce qui correspond bien. - Terme constant : $$-8 i c = 16 + 16 i \\ -8 i (-2 + 2 i) = 16 + 16 i$$ Calculons : $$-8 i (-2) + (-8 i)(2 i) = 16 i + (-16 i^2) = 16 i + 16 = 16 + 16 i$$ Ce qui correspond. 12. **Conclusion :** Le troisième racine est le terme constant du quotient $Q(z) = z + c$, donc $$z_C = -c = 2 - 2i$$ 13. **Positions des lampadaires :** $$A(-2, 0), B(0, 4), C(2, -2)$$ 14. **Transformation par la similitude directe $S$ :** $$z' = (1 + i) z + 2 + i$$ Calculons $A', B', C'$ : - $$A' = (1 + i)(-2) + 2 + i = -2 - 2 i + 2 + i = 0 - i = -i$$ - $$B' = (1 + i)(4 i) + 2 + i = 4 i + 4 i^2 + 2 + i = 4 i - 4 + 2 + i = -2 + 5 i$$ - $$C' = (1 + i)(2 - 2 i) + 2 + i$$ Calculons $(1 + i)(2 - 2 i)$ : $$2 - 2 i + 2 i - 2 i^2 = 2 - 2 i + 2 i + 2 = 4$$ Donc $$C' = 4 + 2 + i = 6 + i$$ 15. **Déterminer $D'$ :** $z_D = a + i b$ où $a$ et $b$ sont raison et premier terme d'une suite géométrique $(V_n)$ définie par : $$V_n = U_{n-1}$$ avec $$U_1 = 4$$ $$U_{n+1} = 2 U_n - 1$$ 16. **Trouver la suite $(U_n)$ :** C'est une suite récurrente linéaire d'ordre 1. Résolvons l'équation homogène : $$U_{n+1} = 2 U_n - 1$$ Posons $U_n = U_n^h + U_n^p$ où $U_n^h$ est solution homogène et $U_n^p$ une solution particulière. - Homogène : $$U_{n+1}^h = 2 U_n^h$$ Solution : $$U_n^h = k 2^{n-1}$$ - Particulière constante $U_n^p = c$ : $$c = 2 c - 1 \\ c = 1$$ - Solution générale : $$U_n = k 2^{n-1} + 1$$ 17. **Utiliser la condition initiale :** $$U_1 = k 2^{0} + 1 = k + 1 = 4 \\ k = 3$$ 18. **Formule explicite :** $$U_n = 3 imes 2^{n-1} + 1$$ 19. **Déduire $(V_n)$ :** $$V_n = U_{n-1} = 3 imes 2^{n-2} + 1$$ 20. **Trouver $a$ et $b$ :** - $a$ est la raison de $(V_n)$ : $$a = \frac{V_2}{V_1} = \frac{3 imes 2^{0} + 1}{3 imes 2^{-1} + 1} = \frac{3 + 1}{1.5 + 1} = \frac{4}{2.5} = 1.6$$ - $b$ est le premier terme $V_1$ : $$b = V_1 = 3 imes 2^{-1} + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$$ 21. **Coordonnées de $D'$ :** $$z_D = a + i b = 1.6 + 2.5 i$$ 22. **Étude de la fonction $f(x) = (-x + 2) e^{2x}$ :** - Trouver le maximum de $f$ qui correspond à la position de la caméra. 23. **Calcul de la dérivée :** $$f'(x) = \frac{d}{dx} [(-x + 2) e^{2x}] = (-1) e^{2x} + (-x + 2) 2 e^{2x} = e^{2x} (-1 + 2(-x + 2)) = e^{2x} (-1 - 2x + 4) = e^{2x} (3 - 2x)$$ 24. **Trouver les points critiques :** $$f'(x) = 0 \iff e^{2x} (3 - 2x) = 0$$ Comme $e^{2x} > 0$ toujours, on a : $$3 - 2x = 0 \\ x = \frac{3}{2} = 1.5$$ 25. **Calcul de $f(1.5)$ :** $$f(1.5) = (-1.5 + 2) e^{3} = 0.5 e^{3}$$ 26. **Conclusion :** La position exacte de la caméra est au point de coordonnées : $$(1.5, 0.5 e^{3})$$ --- **Résumé final :** - Lampadaires : $$A(-2,0), B(0,4), C(2,-2)$$ - Podium : $$A' = -i (0,-1), B' = (-2,5), C' = (6,1), D' = (1.6, 2.5)$$ - Caméra : $$\left(1.5, 0.5 e^{3}\right)$$